Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
элемент оператора фт(-у) между вакуумом и одночастичным состоянием был
нормирован на единицу. Эту константу мы вскоре вычислим. На первый взгляд
кажется, что при х0->-оо член с взаимодействием в (16.14) исчезает:
ф (х) -~> УZ ф[п {х) При Xq > оо, (16.17)
т. е. что, в соответствии с интуитивным представлением о причинности,
оператор поля при х0 - - оо равен невозмущенному оператору.
Асимптотическое условие вида (16.17) справедливо в одночастичной
квантовой механике и рассматривалось, в частности, в первом томе этой
книги (см. гл. 6, 9) как гипотеза. Мы использовали это условие, чтобы
выключить взаимодействие в начальном и конечном состояниях. Другими
словами, эта адиабатическая гипотеза утверждает возможность построения
локализованных волновых пакетов, которые как до, так и после рассеяния
находятся на большом расстоянии друг от друга и не взаимодействуют.
Выражение (16.17) является, однако, операторным уравнением. Внимательное
рассмотрение показывает, что оно приводит к противоречию, связанному, по
существу, с тем фактом, что невозможно разделить вклады операторов ф(д:)
и j(y), поскольку последний содержит все собственные взаимодействия при
хо~>-оо. В квантовой теории аналогом волновой функции являются матричные
элементы операторов поля, поэтому асимпто-
§ 104]
In ПОЛЯ И ln-СОСТОЯНИЯ
145
тическое условие следует формулировать непосредственно для матричных
элементов. Мы приведем корректную формулировку асимптотического условия,
следуя Леману, Шиманзику и Цим-мерманну [12]. Пусть q>f(t) представляет
оператор ф(д:), усредненный по пространственно-подобной области
(t) = d3x f* (x, t) до ф (де, t), (16.18)
где f(x, t) - произвольное нормируемое решение уравнения Клейна - Гордона
(? +m2)f(x) = 0, (16.19)
и пусть |а) и |р) - два нормированных вектора состояний.
Тогда асимптотическое условие означает1)
Нш < а | (/) | Р) = 41 <а | Ф{п | Р), (16.20)
-00
где оператор
ф[п = *$ d3xf*(x, t)do ф|п(ж, /) (16.21)
по теореме Грина (см. (16.6) и (16.19)) не зависит от времени.
Уравнение (16.20) носит название "слабого асимптотического условия". Оно
накладывает ограничения на локализованные пакеты, описывающие частицы в
начальном состоянии. Состояния (16.11), образованные in-операторами
|*i ... kn in) = a+(*1)|*2 ... kn in) =
= < (ki)< (*2) • • • a+ (ka) I 0) (16.22)
в дальнейшем будут пониматься как предел нормированных состояний,
образованных операторами ф]п в (16.21), причем волновые пакеты f*(x,t) в
(16.21) заменяют монохроматические плоские волны Гк(х) в (16.9). Полный
набор in-состояний и асимптотическое условие - это все что требуется,
чтобы задать начальное состояние в эксперименте по рассеянию.
Уравнение (16.14) определяет оператор ф)п при условии, что 'sjZ Ф 0. К
сожалению, мы не можем быть заранее уверены в том, что константа Z не
равна нулю, поскольку рассматриваемая теория с локальными лагранжианами и
локальными полевыми операторами является математической идеализацией и
') Смысл уравнения (16.20), который существенно отличает его от (16.17),
заключается в том, что в этом уравнении нужно сначала построить
нормированные волновые пакеты и образовать матричный элемент, а затем
перейти к пределу / -оо (см. [37], а также [54]).
146
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА
[ГЛ. 16
приводит к выражениям, расходящимся с ростом энергии. Указанная
неприятная ситуация действительно может возникнуть, если наше
рассмотрение представляет предел некоторой более утонченной теории. Тем
не менее ниже мы рассмотрим формальный вывод общего выражения,
определяющего константу z, основываясь только на предположениях (16.1),
(16.2) о спектре оператора Р" и канонических коммутационных соотношениях
(16.4).
§ 105. Спектральное представление
для вакуумного среднего от коммутатора
и функция распространения скалярного поля
Для вычисления константы Z построим общее выражение для вакуумного
среднего от коммутатора двух полей
/А' (х, х') = <0 | [Ф (х), ф (*')] 10). (16.23)
В гл. 12 этот коммутатор был вычислен для случая свободных полей. Теперь
же коммутатор в (16.23) нельзя вычислить явно, поскольку решения полевых
уравнений неизвестны. Тем не менее, основываясь только на аргументах,
связанных с трансляционной инвариантностью теории, и используя свойства
спектра оператора Р*, можно найти общий вид функции А' в (16.23).
Вставим между двумя операторами в (16.23) полный набор состояний (16.7).
Трансляционная инвариантность означает, что
(п | ф {х) | т) = (п | eiPxq> (0) e~iPx \ т) -
= <?г(Р"-Рт)*(/г|ф(0)|т>, (16.24)
поэтому
А' (х, х') = - г ? <01Ф (0) ] п) (п | ф (0) 10) X
П
X (e~ipn <*-*'> - eipn <*-*'>) = А' (х - х'). (16.25)
Удобно далее объединить состояния, отвечающие одному и тому же значению
рп¦ С этой целью используем тождество
1 = ^ d4q б4 (рп - q);
*
тогда (16.25) можно переписать в виде
А' = ^ [(2п>3 Е 64 (Рп - я) I <01Ф (0) | п) р]
х
X (е-'ч [*-*') - ?<•" <*-*')}. (16.26)
§ 105] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 147
Величина в квадратных скобках называется спектральной функцией *)
