Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
при действии на вакуум одного из операторов рождения, в разложении
свободного поля. Действуя последовательно на вакуум п операторами
рождения, мы получаем "-частичное состояние. Напомним, что указанная
интерпретация поля в терминах частиц возникает при рассмотрении спектра
оператора энергии-импульса Р** с учетом алгебры операторов рождения и
уничтожения. Построим теперь аналогичные операторы рождения в теории
взаимодействующих полей. Рассмотрим вначале простой пример эрмитового
мезонного поля ф(.ж), удовлетворяющего уравнению
(? + mg) ф (х) = / (х) (16.3)
и одновременным перестановочным соотношениям [ф (х, 0, ф (У, t)] = [л (х,
(), я (у, 0] = 0,
[я (*, t), ф'{у, 0] = - г'б3 (лс -у).
Будем считать, что ток }(х) в (16.3) представляет оператор, локальным
образом построенный из поля ф(лг). В том простом случае, когда ток не
содержит связь с производными, имеем
я (х) = ф (х).
В остальном форма тока может быть произвольной. Он может содержать связь
с нуклонным источником или, например, само-действие вида
/ (х) = Яф3 (х).
В последнем случае уравнение поля может быть выведено из лагранжевой
плотности
S = 1 (Jv._ т2ф2 +1
2\дх^ дх" 2 ^ )
Обозначим оператор, который генерирует одночастичные физические
состояния, через фт(*)." Оператор фщ представляет
№
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА
[М. 16
Собой функционал, зависящий от ф(х) и любых других полей, входящих в /
(ле); существование этого оператора будет продемонстрировано ниже явным
построением. Для того чтобы фыМ можно было интерпретировать как оператор
рождения физического мезона, потребуем выполнения следующих условий,
которые уже встречались в предыдущих главах при рассмотрении свободных
полей.
1. При преобразованиях Лоренца и пространственно-временных смещениях
ф!П(.*0 преобразуется так же, как и соответствующее поле ф(х). Это
условие гарантирует ковариантность одночастичного состояния, построенного
с помощью оператора Фт(л:). Из инвариантности при трансляциях, в
частности, следует, что
О", ф1п(*)] = -/%^. (16.5)
2. Пространственно-временная зависимость оператора фш описывается
уравнением Клейна - Гордона с физическим значением массы
(?+т2)Ф;п(х) = 0. (16.6)
Покажем, что из (16.5) и (16.6) следует, что оператор фцДх) действительно
генерирует физическое одночастичное состояние. С этой целью рассмотрим
произвольный собственный вектор
Р*\п) = р1\п) (16.7)
и вычислим матричный элемент
- i -gf- (п I Ф!п (*)I °> = I Фы (*)] I °) " Pi fa I Фы (*)I °>-
М-
Дифференцируя еще раз это выражение и используя (16.6), получим
(? + т2) {п | ф,п (х) 10) = (т2 - р2) {п | фш (х) 10) = 0, (16.8)
откуда следует, что состояния, полученные из вакуума применением
оператора фт(*), удовлетворяют условию р2п = т2 и являются, таким
образом, одночастичными состояниями с массой т. Поскольку фш(х)
удовлетворяет уравнению Клейна - Гордона, его фурье-разложение имеет
такой же вид, как и для свободного поля (см. (12.7)):
Ф,п (*) = J d4 [ain (k) fk (x) + a+ (k) Гк (*)],
где
(1M>
§ 104]
In-ПОЛЯ И In-СОСТОЯНИЯ
143
И _________
щ = V*2 + >пг = k°,
причем
а1п (k) - I J d3x f*k (х) % cpln (х),
как в уравнении (12.9). Операторы ain{k) удовлетворяют перестановочным
соотношениям
[^. а," <*)] = - *Ч" (*)• [р*> at (*)] = + *4+ (*). (16-Ю)
которые следуют из уравнения (16.5).
Последовательно действуя операторами afn(k) на вакуум, мы получаем
произвольное n-частичное состояние. Используя выражение (16.10) и
предположение о существовании вакуумного состояния с нулевой энергией,
получаем
РХa*n (kfii) 10) = Я111 /г, ... k"in) =
"Zл?"Гп(*i)• • • d6-11)
"in (Л) 10) = о,
причем
(pt ... рм in \k{ ... kN in) = 0,
если M Ф N и набор (pu ..., рм) не совпадает с {k\, ..., kN). Как
отмечалось выше, мы предполагаем, что набор состояний с различными N и $
является полным.
Для того чтобы выразить оператор <pin(*) через поле ср(х), перепишем
уравнение (16.3), добавив к обеим частям его массовый контрчлен
6т2ср (х) "= (m2 - ф (х), (16.12)
при этом получим
(? + т2) ф (х) = j (х) + бт2ф (х) = f(x). (16.13)
Новый ток f(x) теперь является источником, который приводит к рассеянию.
Вычитая из ф(х) рассеянные волны, мы получим невозмущенное решение с
массой т, т. е. оператор фш(*)-Поэтому ')
д/Z ф1п (*) = ф (х) - ^ d*y Aret (х - у, т) J(у), (16.14)
') Константа Z обычно обозначается через Z3; мы сохраним, однако, обо*
значение Z3 для фотонов.
144
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦЛ
[ГЛ. 16
где Aret(* - У', т) есть запаздывающая функция Грина (см. приложение В)
(?* + tn2) Aret (х - у, т) - ь4(х - у), (16.15)
Aret (х - у; т) - 0 для х0 < у0. (16.16)
Оператор ф|П(л:) в (16.14) удовлетворяет, очевидно, обоим условиям (16.5)
и (16.6) для in-полей. Например, так как j'(y) - скалярный оператор, то
VZ ф1п (х + а) - ф (х + а) - jj d4y Aret (х +а -у) j {у) =
= eiPaq> (х) e~iPa - ^ d4if Aret (х - у') J{у' + а) =
= е1Ра [ф (л:) - J d*y' Aret (х - y')J(y')] e~iPa =
- eiPa у'I (д.) е-1Раш
Константа Vz в (16.14) определяется из того условия, чтобы матричный
