Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
с (а,, ..., а") = <
О
в остальных случаях.
При этом разложение (13.4) в случае статистики Ферми - Дирака может быть
записано в виде
(^i, ..., xnt t)
1
Vtl\
z
.... ar N
Z
V n\
ность перестановки P.
c( au с (aj,
an) J] брЫа, (Xi, t) ... Uan (Xn, t) =
an)
"а, (*i. t) • • "а" (*ь t)
U(X| (хп> t) • иап (*". t)
(13.7)
где 2 - сумма по всем перестановкам Р индексов а г, б р - чет-
§ 77. Представление чисел заполнения для фермионов
Информация, которую несет в себе волновая функция (13.4) или (13.7),
заключается не в том, какие именно частицы имеют определенные квантовые
числа, а в том, сколько тождественных частиц находится на том или ином
квантовом уровне. В этом обстоятельстве и заключается аналогия с
квантово-полевым описанием уравнения Клейна - Гордона. Состояние поля как
"-частичной системы описывается числом квантов, или частиц, занимающих
определенный одночастичный уровень. Разница при этом заключается лишь в
том, что в случае антисимметричного решения числа заполнения для каждого
состояния равны 0 или 1. Имея в виду указанную аналогию, мы рассмотрим
теперь динамику "-частичной фермионной системы на языке квантовой теории
поля.
Для начала изменим обозначения в (13.7) и вместо суммирования по уровням
оц, ..., ап = 1, ..., N будем суммировать по числам заполнения "а,
которые указывают, свободен ("а=0) или занят ("а=1) уровень а. Обозначим
через 4f(*i,..
",, ..., "N; /) "-частичный детерминант Слэтера (вида (13.7)),
составленный из одночастичных волновых функций иар где символы а(-
обозначают занятые уровни. Пусть столбцы детер-
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ ФЕРМИОНОВ
55
минанта упорядочены естественным образом, т. е. ai < a2 < ... ... < a",
причем
Например, если в системе, содержащей семь уровней, частицы находятся на
2-м, 4-м и 5-м уровнях (ai = 2, a2 = 4, a3 - 5), то
В новых обозначениях волновая функция (13.7) записывается в виде
откуда следует, что коэффициенты с'{пх "N) можно интерпретировать как
амплитуду вероятности появления данного набора {",, ..., "N}.
Для описания "-частичной фермионной системы на языке теории поля нужно
ввести удобный способ построения, исходя из вакуумного состояния, "-
частичной волновой функции. Из предварительного рассмотрения дырок в
теории Дирака (т. 1) ясно, что центральную роль при динамическом описании
системы играют процессы рождения и уничтожения частиц. Включение
взаимодействия между частицами в (13.1) приведет к переходам между
состояниями с различными квантовыми числами. Поэтому нас интересует
амплитуда перехода частицы из состояния а в состояние а'.
С этой целью, следуя рецепту, сформулированному при рассмотрении теории
Клейна - Гордона, введем операторы рожде-
1, если а = аг для некоторого /, О в остальных случаях.
"2 (*1, t) "4 (*Т, t) "5 (Ж,, t)
lP(*b х2х3; 0101100; t)= u2(x2, t) u4(x2, t) иъ(х2,
t) . (13.8)
"2 (*3, t) Ut (Ж3, t) "5 (Ж3> t)
?(*1, x2, xn; t) =
n\ "N=0
i=0
(13.9)
где
c'("p ..., "N) = c(a,, a2, ..., art) (13.10)
и числа "a определены, как и раньше. Условие нормировки теперь имеет вид
I
(13.11)
56
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ДИРАКА
[ГЛ. 13
иия и уничтожения, в терминах которых можно построить и связать между
собой состояния а и а'. Прежде всего определим вакуумное состояние Ф0.
Вакуум не содержит частиц вообще, поэтому его импульс и энергия равны
нулю. Это следует и из решений уравнений (13.1) или (13.3). Оператор
рождения определяется таким образом, что, действуя на Фо, он образует
одночастичное состояние Фа с квантовыми числами а:
а+Ф0 = Фа = ЮО ... 1 ...>. (13.12)
Прежде чем связать эти состояния с волновой функцией в (13.1), построим
простое и удобное представление. В силу принципа запрета состояние а либо
занято, либо пусто. Представим эти две возможности столбцами и [j]
соответственно. Тогда вакуумное состояние есть произведение столбцов,
отвечающих всем пустым состояниям
Ф"-П [?!• <тз>
а одночастичное состояние имеет вид
Ф"-=[Ц. II [?]"• <1з-14>
афа'
Оператор рождения а+, может быть поэтому представлен 2X2-матрицей,
действующей в пространстве а'-го состояния, которая,
действуя на столбец ? j J , дает . Эта матрица имеет вид
[х *1 с произвольными л: и у. В силу принципа Паули опера-У и Ja'
тор аф, действуя на занятое состояние [о] ,> Дает нулевой вектор. Поэтому
мы положим х - у - 0, тогда
5].,- <13Л5>
Аналогичным образом из условий аа' [q] , = [ °] и аа- [ j J ,=0 находим
оператор уничтожения
а"
=[? S1,- <13Л6>
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ ФЕРМИОНОВ
57
эрмитово сопряженный аф. Из (13.15) и (13.16) получаем набор
антикоммутационных соотношений ') для аа, и а+,
Таким образом, принцип Паули приводит вместо коммута-торов (12.10) в
теории бозонов к антикоммутационным соотношениям для операторов рождения
и уничтожения. Уравнения (13.17а) и (13.176) выражают тот факт, что
нельзя создать или уничтожить два фермиона в одном и том же состоянии.
Собственные значения произведения ""'"a' = [o о] для занятого
