Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(12.72)
Оператор Т означает, что поля надо располагать справа налево в порядке
возрастания времени. Хронологическую операцию можно применить к
произведению любого числа операторов. Фейнмановский пропагатор при этом
записывается в виде
iAP (х' - х) = <01Т (Ф (х') Ф* (jc)) 10), (12.73)
цли, в терминах эрмитовых полей,
idi j Ар (х' - *) = <01 Т (<рг (х') фj (а)) 10). (12.74)
ЗАДАЧИ
51
Фейнмановский пропагатор в квантовой теории поля, как в одночастичной
теории, играет главную роль при вычислении амплитуд перехода. Функция
AF(x',x) описывает распространение частицы из точки х в точку х\ если t'
> t, если же / > f, то Af(x', х) описывает распространение античастицы из
точки х' в точку х. В результате мы получаем ту же самую физическую
картину, которая обсуждалась в гл. 6, 9 при рассмотрении решений,
отвечающих частицам и античастицам.
ЗАДАЧИ
J. Проверить, что для скалярного поля - (г/2) euv ср] = 6ф,
2. Вычислить
<0|ф2Ю>,
где
Ф=дг (х)
V
и V - сферическая область радиуса R.
ГЛАВА 13
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ДИРАКА
§ 76. Квантовая механика п тождественных частиц
В предыдущих параграфах мы рассмотрели те следствия, которые возникают
при каноническом квантовании поля. В результате было получено
непротиворечивое описание частиц, подчиняющихся статистике Бозе -
Эйнштейна. Описанный формализм, достаточно гибкий, чтобы включить
процессы рождения и уничтожения частиц, успешно устранил также трудности
одночастичной теории, связанные с решениями с отрицательной частотой и
отрицательными вероятностями.
Представляется естественным обсудить с этой точки зрения и другие примеры
многочастичных задач, рассматривая лагранжианы, приводящие либо к
уравнению Шредингера либо к уравнению Дирака для частиц со спином 1/2.
При этом, однако, мы сталкиваемся с той трудностью, что при квантовании
возникают бозе - эйнштейновские частицы, в то время как известно, что
частицы со спином 1/2, например электроны и протоны, описываются
статистикой Ферми - Дирака и удовлетворяют принципу запрета. Мы
сталкиваемся, таким образом, с необходимостью изменить некоторые
промежуточные этапы квантования. Эти изменения необходимы, как мы вскоре
убедимся, и с другой точки зрения. Мы имеем в виду связь между спином и
статистикой - один из наиболее значительных результатов квантовой теории
поля.
Для того чтобы наиболее естественно ввести в метод квантования
необходимые изменения, мы временно вернемся назад и рассмотрим
многочастичную теорию фермионов, основанную на "-частичном уравнении
Шредингера, которое мы постараемся переформулировать на языке теории
поля. Другими словами, вместо того чтобы получить многочастичную теорию в
результате квантования классического поля, как это было сделано в
предыдущей главе, мы начнем сразу с задачи п частиц, имея при этом целью
найти такую форму полевой теории, которая не противоречит принципу
запрета [16-18].
$ 76] КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА п ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ 63
Рассмотрим уравнение Шредингера для п тождественных невзаимодействующих
частиц
xn;t) = H'F, (13.1)
П
где Н = 2 Н (хс, pi) - сумма одночастичных гамильтонианов г=1
одинакового вида. Переменные в задаче разделяются и частное решение имеет
вид произведения
П
? (хи ..., хп; t) = П "а, (**, t) (13.2)
t=i '
решений иа(х, t) одночастичного уравнения Шредингера
Ниа(х, t) = i ---. (13.3)
Общее решение уравнения (13.1) представляет суперпозицию частных решений
(13.2) и может быть записано в виде
44*1 Хп, t) =
N
с(аь ..., а n)uai (Х[, t) ... Uan(x", t), (13.4)
Уга!
= 1
где множитель 1/д/п\ выбран из соображений удобства. В формуле (13.4) N
есть число одночастичных уровней. Если функции uai (xit t) образуют
ортонормированную систему, то условие нормировки коэффициентов разложения
имеет вид
N
"п)12=1. (13.5)
"1 а"=1
Набор коэффициентов с в (13.4) определяет "-частичное состояние и должен
удовлетворять принципу неразличимости тождественных частиц. Другими
словами, плотность |Ч4*ь • •., хп\ t) |2 должна быть инвариантна при
перестановке аргументов, т. е. Ч* сама по себе может быть либо
симметричной, либо антисимметричной функцией1). Коэффициенты c(<xi,
...,ал) соответственно симметричны или антисимметричны при перестановке
индексов
с (.... аг ... <Ху .. .) = ± с (. ... ау ... аг...). (13.6)
Конкретный выбор знака в (13.6) ведет либо к статистике Бозе - Эйнштейна,
либо к статистике Ферми-Дирака.
') В том случае, когда сам вектор Ч' записывается в виде столбца,
возможен более общий вид статистики (см. в этой связи [19-21]).
54
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ДИРАКА
[ГЛ. 13
Уравнение (13.6) несет в себе огромное количество информации, поскольку
из него следует, что если известен какой-либо один коэффициент с( оц,
...,а") в (13.4), то из (13.6) получаются остальные "!- 1 коэффициентов.
Поэтому разложение (13.4) можно записать в более компактной форме, если
упорядочить а и определить новые коэффициенты
.Г с(<*1.......а"), а,<а2< ... < а",
