Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ф
-[*+?
L fl=l
42
ПОЛЕ КЛЕЙНА " ГОРДОНА
1ГЛ. 12
§ 72. Измеримость поля и принцип микропричинности
В классической теории поле ср(лг) является наблюдаемым и его величина
может быть измерена в любой точке х. В гл. 11 мы ввели, с некоторыми
оговорками, понятие локального полевого оператора <р(х), в квантовом
смысле определенного в точке х.
Коммутационные соотношения в квантовой теории накладывают некоторые
ограничения на точное измерение величин поля. Так, например, точное
измерение полей в двух различных пространственно-временных точках хну
возможно только в том случае, если коммутатор [ср(х), ср(г/)] обращается
в нуль.
Полевой коммутатор можно вычислить, используя явное решение (12.7) для
свободного поля Клейна - Гордона. С учетом
(12.10) получаем
В теории поля мы постоянно сталкиваемся с целым зверинцем инвариантных
функций, к которому принадлежит и А(х- у). Сводка формул, относящихся к
этим функциям, дана в приложении В. Лоренцева инвариантность А
непосредственно следует из выражения (12.37), в котором инвариантная
экспонента интегрируется по инвариантному же фазовому объему
которая также лоренц-инвариантна для времениподобного вектора к2 > 0,
можно представить А в более компактной форме:
[ф М
+ [а+ (к), a (к')] eikx-'b'y) = J (e~ik - eik <*-*>) =
= - S 1S~eik'{x~y) sin%(x0 - y0) = /А (x - у). (12.37)
\-щ=\а*к6(к2-т2)в(к0).
Вводя нечетную функцию
ко > 0, к0 < 0,
(12.38)
¦А (х - У) = - I \ -Цг S (к2 - т2) е (к0) е~* (*-й. (12.39)
Из определения функции А посредством коммутатора в левой части равенства
(12.37) следует, что А есть решение свободного
ВАКУУМНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
43
уравнения Клейна - Гордона, причем она является нечетной функцией своих
аргументов
(?* + т2)А(х - у) = 0, А(х - у) = - А (у - х). (12.40)
Поскольку одновременный коммутатор в (12.37) зануляется, А (а: - у, 0) =
0. Тогда из лоренцевой инвариантности получаем
т. е. два поля, разделенные пространственноподобным интервалом,
коммутируют. Таким образом, напряженности полей <р, рассматриваемые как
физически наблюдаемые, могут быть измерены однозначно и независимо друг
от друга в любых двух точках х и у, которые нельзя связать световым или
каким-либо другим физическим сигналом, (х - у)2 > 0. Производная по
времени функции Д сингулярна в начале координат
в результате, комбинируя (12.42) и (12.37), мы воспроизводим канонические
коммутационные соотношения (12.4).
Условие обращения в нуль коммутаторов для любых, даже сколь угодно малых
пространственно-временных интервалов составляет содержание принципа
микропричинности. Для того чтобы придать какой-либо физический смысл
этому математическому утверждению, следует придать смысл процедуре
измерения поля в точке - недостатки подобной концепции уже обсуждались в
предыдущих параграфах1).
§ 73. Вакуумные флуктуации
Мы уже отмечали, что квантование поля представляет не что иное, как
квантование бесконечного набора гармонических осцилляторов. При этом
энергия вакуума оказывается аналогом нулевой энергии осцилляторов. Если
осциллятор находится в состоянии с фиксированной энергией, то его
координата не является строго определенной величиной, т. е.
Аналогичное положение имеет место и в полевой теории - координаты ф(х)
флуктуируют. Например, в основном состоянии
А(х - у) = 0 для всех (х - у)2 <0, (12.41)
(12.42)
0Г", д2Уп)>(УпуУпУ = 0.
(12.43)
А+ (х, у) = <01 ф (х) ф (у) 10)^0,
(12.44)
]) Детальный анализ коммутационных соотношений на языке процессов
измерения был выполнен для квантовой электродинамики Н. Бором и Л. Ро-
зенфельдом [14].
44
ПОЛЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
(ГЛ. 12
несмотря на то, что
(О | ф (л:) 10) = 0.
(12.45)
Функцию Д ±(х,у) можно вычислить, используя выражения (12.7), (12.10) и
(12.17); в результате получаем
При у->х это выражение переходит в квадратично расходящийся интеграл для
вакуумных флуктуаций:
В отличие от нулевой энергии, расходимость в (12.46) не может быть
полностью устранена простым вычитанием. Мы уже знаем, что вакуумные
флуктуации приводят к наблюдаемым конечным физическим эффектам в
лэмбовском сдвиге, которые обсуждались именно с такой точки зрения в гл.
4.
Расходимость в (12.46) не вызывает, однако, беспокойства, поскольку на
самом деле квадрат амплитуды поля в любой точке не является измеримой
величиной. Локализация изолированной точки в пространстве и времени
требует бесконечной энергии и соответственно бесконечно малой длины
волны, что недостижимо при конечных энергиях. При практических
вычислениях расходимость в (12.46) также не приводит к серьезным
затруднениям. Тем не менее то обстоятельство, что аппарат теории поля
постоянно оперирует с выражениями типа 3? и Р*1, которые, подобно
(12.46), содержат произведение полевых операторов, вычисляемых в одной и
той же пространственно-временной точке, не может считаться
удовлетворительным.
При этом следует иметь в виду, что с формальной математической точки
зрения строго определено лишь произведение полей, усредненное по
