Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
з
И'==1а? = аУ' (2.1)
и=>0 ц
Это линейное однородное преобразование и коэффициенты а* зависят только от относительных скоростей и ориентаций двух систем отсчета О и О'. Основным инвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца является интервал собственного времени
ds2 = dxa dxv = dxfi dxw (2.2)
Инвариантность этой величины следует из физического наблюдения, состоящего в том, что скорость света в вакууме одна и та же во всех лоренцевых системах отсчета Равенства (2.1) и
(2.2) приводят к следующему соотношению для коэффициентов преобразования:
= (2.3)
Соотношения (2.1) и (2.3) служат определением как собственного, так и несобственного преобразований Лоренца. В пер-
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В КОВАРИАНТНОЙ ФОРМЕ
25
вом случае определитель, составленный из коэффициентов преобразования, удовлетворяет условию
deta = + 1.
Собственное преобразование Лоренца может быть представлено как бесконечная последовательность инфинитезимальных преобразований. Собственные преобразования Лоренца включают в себя переходы между различными инерциальнымн системами координат, движущимися в произвольных направлениях, и обычные трехмерные вращения. Несобственные преобразования Лоренца— это дискретные преобразования пространственного отражения и обращения времени. Их нельзя представить как последовательность инфинитезимальных преобразований. Матрицы несобственных преобразований удовлетворяют условию
det а = — 1,
справедливому как для пространственного отражения, так и для обращения времени.
Наша задача—установить соответствие между заданной серией наблюдений, произведенных над дираковской частицей наблюдателем О, и теми же наблюдениями, осуществленными наблюдателем О', находящимся в другой системе отсчета. Иначе говоря, мы ищем закон преобразования, связывающий волновые функции гИ*) и г(/(х'), относящиеся к наблюдателям О и О' соответственно. Этот закон преобразования позволяет наблюдателю О' найти г|/(х') по известной функции (лт). Согласно требованию лоренцевой ковариантности этот закон преобразования должен приводить к волновым функциям, которые являются решениями уравнения Дирака, имеющего один и тот же вид во всех системах отсчета. Неизменная форма уравнения Дирака есть выражение лоренцевой инвариантности лежащего в его основе соотношения между энергией и импульсом
РиРи = т2с2,
на которое опирались приведенные в гл. I рассуждения.
Для обсуждения свойств ковариантности желательно записать уравнение Дирака в четырехмерных обозначениях, обеспечивающих симметрию между ct и хк С этой целью умножим (1.13) на p/с и введем обозначения
Y° = P, Y' = Pa<, <=1,2,3.
Тогда получаем
ih + Y1 -?г + + Y, -^г) * ~ тех|, = 0. (2.4)
2fi
ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА |ГЛ. 2
Вновь введенные матрицы позволяют придать изящную форму коммутационным соотношениям (1.16):
Y^YV + yvY^ = 2^v1, (2.5)
где 1 означает единичную матрицу размерности 4 X 4; в дальнейшем мы не будем каждый раз это оговаривать. Из определения этих матриц ясно, что у' антиэрмитова, причем (уг')2 = = —1, a y° эрмитова. В представлении (1.17) они имеют вид
(=U о‘). MJ -?)• м
Удобно ввести обозначения с «крышкой» '):
А = y4 = = v°^° - Y • А
и, в частности,
v = — = ^-— + Y • V.
у дх» с dt
Тогда уравнение (2.4) в сокращенном виде выглядит так:
(ihS — тс) = 0, (2.7)
д
или, вводя р11 = ih
дх» ’
(р — тс) ty = 0. (2.8)
Введение электромагнитного взаимодействия путем «минимальной» замены (1.25) дает
(р — ¦— — тс) г|з = 0.
Такая замена никак не влияет на свойства ковариантности, поскольку р^ и А», а следовательно, и их разность являются 4-векторами.
§ 6. Доказательство ковариантности
Для доказательства ковариантности уравнения Дирака относительно преобразований Лоренца мы должны установить, что выполняются следующие два условия. Во-первых, должно существовать явное правило, по которому наблюдатель О' мог
!) Авторы используют «перечеркнутые» обозначения:
однако мы сочли возможным заменить их обозначениями, принятыми с отечественной литературе. (Прим. перев.)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОВАРИАНТНОСТИ
27
бы, зная волновую функцию \р(лг), относящуюся к наблюдателю
О, найти волновую функцию гр'^'), описывающую то же самое состояние и относящуюся к наблюдателю О'. Во-вторых, в соответствии с принципом относительности, i|/(x') должна быть решением уравнения, которое имеет вид (2.7) в штрихованной системе координат:
