Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(10.596)
(10.60)
з
Таким образом, а = Уз и
=«* t (»• фГ) (*•¦;)('¦ фГ) (* ¦ *;)=
— За <Фг' I Р./, | Ф*) = <Ф* | Л,, I ф;>.
3
<Ф21 ^./31 ФТ> = 4-т • ФГТ • ф?- (10.61)
ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ ИЗОСПИНА И УГЛОВОГО МОМЕНТА
233
Оператор Р3/г находится теперь непосредственно из (10.59а):
<ф* | РЧ21 ф?) = ф2е* • ф? - 1 (г • Ф2е*) (г • ф'). (10.62)
Полученные результаты переносятся и на угловые моменты, так как мы вновь складываем 5 = у2 с L — 1 для мезона, находящегося в p-состоянии относительно нуклона. Орбитальными волновыми функциями л-мезона являются теперь векторы q! и q2 по аналогии с ф[ и ф' в изотопическом пространстве, и вместо (10.61) и (10.62) теперь можно записать
4 nq2
<Ч21Q./,|Ч,> = [з-® ¦ Ч2® • Q,]
<q21 I Qi> = [q24! - I (° • q2) • qj)]
здесь <7 = |q1|==|q2|.
Эти операторы нормированы согласно
(10.63)
4 nq2
^ dQn <q21 Qi | q„) (q„ | Q, | q,) = 6И <q21 Qt \ q,), (10.64)
где суммирование по трем ортогональным направлениям, как и в случае изотопических проекционных операторов, мы заменили на интегрирование по сфере ^ dQn. Подобная несущественная разница в условиях нормировки между Р* и обусловлена тем, что наблюдаемые мезоны всегда ориентированы в изопространстве вдоль одного из трех направлений (10.36), которые
отвечают зарядам ±1 и 0, в то время как направления их им-
пульсов образуют континуум, отвечающий различным углам рассеяния.
Комбинированные проекционные операторы для собственных состояний изоспина и углового момента представляют собой произведения операторов Р и Q. Они определены следующим образом:
= ^\ \ ~ P'hQ'h’
^2 = ^13 = РчЯ/2’
сэ __ер ____Р О (10.65)
•'з 31 гч,Чуг,
^4 = ^33 = P'lflh’
где первый индекс оператора представляет собой удвоенное значение изоспина, а второй — удвоенное значение углового момента. Операторы а = 1, ..., 4, обладают свойствами
234
НЕЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. 10
(10.59) и нормированы согласно
3
Вводя проекционные операторы в (10.57), получаем следующее выражение для амплитуды пион-нуклонного рассеяния во втором порядке теории возмущений и в нерелятивистском приближении:
Обратите внимание на то, что амплитуда (10.67) отрицательна только для канала (3.3); это соответствует наличию притяжения лишь в канале с / = / = 3/2 [100, 102, 103]. Экспериментальное наблюдение резонанса в этом состоянии и малые сдвиги фаз при низкой энергии в трех других ^-состояниях качественно согласуются с тем, что дает «потенциал», который приводит к амплитуде (10.67).
§ 55. Сечения рассеяния пионов на нуклоне
Сечение рассеяния получается из (10.67) и(10.54) возведением в квадрат и умножением на обычные множители, связанные с фазовым объемом. Для фиксированных начального и конечного спиновых состояний имеем
что в нерелятивистском пределе в системе центра масс переходит в
Для конкретного процесса do/dQ вычисляется путем подстановки в 9)1 соответствующей изотопической волновой функции я-мезона ф®, импульса q(. и отвечающих данному процессу нуклонных изоспиноров Сечение, усредненное по спинам, получается, как обычно, суммированием по спинам нуклона. В качестве примера рассмотрим я+ — /7-рассеяние, в которое дает вклад только
. 9
4^33 — 2^13 — 2&>Э1 + 5°!,
Ч|Ф?) и (si) Xi- (10.67)
СО
X б4 (q, + Я, - <72 - р2),
(10.68)
СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ПИОНОВ НА НУКЛОНЕ
235
канал с / = 3/2, так как /3 = 3/2. Пренебрегая вкладами всех других состояний, кроме / = / = 3/2, получаем из (10.65)
<Я2Ф+ |^ззIЯ,Ф+)ХР = 4^ (ч2 ' 4i -Ta'42a-qi)- (10-69)
Суммируя по конечным и усредняя по начальным спинам нуклона, находим с помощью (10.69)
spins
1 { ^ \ 2 ^ 2 I j 2
= Ш ? Iм+ (Ss) (q2 - qi--3 ff-q2o-qi)«(Sl)| =
spins
“(жг) T sp(4a’4l — y®-qi®'4i)(qi'4i — уЯЧ.О'Чг)*
= (тй^гУ Сч1я? -t- з (q2 - q,)2J- (10.70)
Подставляя это выражение в (10.68), получаем вклад состояния с / = / = 3/2 в дифференциальное сечение я+ — р-рассеяния в системе центра инерции
= + 00.71)
где, как и раньше, мы обозначили
f2_A(JL)2
1 4л V 2А1 /
Полученное выражение (10.71) вряд ли можно считать достоверным, так как оно основано на борновском приближении, которое, как уже было показано, совершенно неприменимо для s-волнового рассеяния. Важное достоинство (10.71) состоит, однако, в том, что оно предсказывает угловое распределение вида (l+3cos20) в хорошем согласии с экспериментальными данными для мезонов с энергией в районе от 150 до 200 Мэе. Кроме того, установлено, что в этой области энергий отношения сечений близки к значениям, вычисленным с учетом одного состояния с / = / = 3/2:
