Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Проводя вычисления в системе центра инерции с указанной выше точностью, приводим (10.56) к виду
ш ~ -jt [и+ Ыи Ы feM (ф2* • фО] -
“ 4ЖГ и+ (**) %2+ (Т • ф2*Т • ф1а • W • 4i -
- т • ф^т • ф2*а • q,a • q2) и (s,) %r (10.57)
Первый член отвечает взаимодействию, которое не зависит от спина и изотопического спина. В нерелятивистском случае в борновском приближении это взаимодействие описывается потенциалом
v (')= + w 63 <г>=V2M 63 («¦)] • (10-58)
По теории возмущений он приводит к огромной длине рассеяния, равной (4М/2/ц) 1/ц ~ 2/ц л; 2,8-10~13 см, где мы вновь положили /2 = 0,08. Однако, поскольку взаимодействие является отталкивательным и имеет малый радиус (в нерелятивистском приближении (10.58) нулевой радиус), то вызванные им эффекты малы. Сильный, короткодействующий, отталкивательный потенциал типа изображенного на рис. 10.9 приводит к сдвигу s-фазы порядка 6 ~ qa, где радиус потенциала а дает в данном случае длину рассеяния на этом потенциале. Из поправок на отдачу нуклона можно ожидать, что а ~ l/М и, следовательно, s-волновая длина мезон-нуклонного рассеяния мала в противоположность большой амплитуде, 1/ц, полученной из необо-
МЕЗОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ
231
¦"ваМ2
А
V(r)
Л
снованного применения борновского приближения к (10.5S). Эксперимент показывает, что это действительно так [15, 89, 94, 100].
Второй член в (10.57) отвечает р-волновому рассеянию. Выражение такого вида получается во втором порядке нерелятивистской теории возмущений. Если рассматривать нуклон как нерелятивистскую частицу со спином 1/2, для которой спектр промежуточных состояний между поглощением начального мезона и испусканием конечного включает только состояния с положительной энергией, то можно воспользоваться (10.50) и привести вершину взаимодействия к виду go(o-V) (г-фе)/2М. Множитель 1/со в (10.57) возникает в этом приближении от энергетического знаменателя и имеет знак плюс для амплитуды, изображенной на рис. 10.8, а, и знак минус для амплитуды на рис. 10.8,6. Напротив, первый член в (10.57), отвечающий рассеянию в s-волне, возникает благодаря прямым и обратным переходам нуклона в море с отрицательной энергией в промежуточном состоянии. В этом случае при малых импульсах нуклона уу5« ~ —1 и энергетический знаменатель дает множитель — 1/2ЛГ
Из соотношения неопределенности AEAt ~ 1 можно ожидать, что для рассматриваемых диаграмм взаимодействие в p-состоянии имеет больший масштаб во времени, ~ 1/со, чем в s-состоянии, ~ 1 /М. Поэтому представляется естественным, что низкоэнергетическая амплитуда рассеяния в р-со-стоянии имеет более сильную зависимость от энергии, чем амплитуда для s-состояния. Если в p-состоянии действует сильный притягивающий «потенциал», то может образоваться резонанс.
Как впервые указал Чью [101], решающим является вопрос о знаке потенциала в /ьсостоянии. Независимо от того, что использованный нами при
написании (10.57) метод теории возмущений качественно необоснован, этот знак играет в рассеянии огромную роль и может служить важным количественным критерием при анализе амплитуды рассеяния в /^-состоянии. Чтобы ответить на этот вопрос, удобно выделить из амплитуд проекции, которые отвечают различным каналам с фиксированными значениями полного уг-
к
Г
Рис. 10.9. Отталкивание на малых расстояниях для s-волнового я — п-рассеяния.
232
НЕЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. 10
лового момента J и полного изоспина /, так как переходы между каналами с разными J запрещены законом сохранения углового момента, а между каналами с разными / — законом сохранения изоспина (10.44) (в приближении зарядовой независимости).
§ 54. Проекционные операторы для изоспина и углового момента
Мы знаем, что согласно векторной модели сложения угловых моментов полный изотопический спин системы из одного нуклона (с / = ’/г) и одного мезона (с /= 1) может равняться либо / — 7г, либо / = 3/г- Проекционные операторы для этих двух состояний, Ptf и Р%, будут матрицами размерности 3X3 в изотопическом пространстве мезонов, натянутом на базисные векторы (10.36), и матрицами 2X2 в пространстве нуклонных изоспиноров (10.35). Операторы Pt/ и должны обладать основными свойствами проекционных операторов:
где 1 означает единичную матрицу в шестимерном пространстве, построенном как прямое произведение мезонного и нуклон-ного изотопических пространств.
Эти операторы нетрудно найти, если заметить, что диаграмма без пересечения мезониых линий, изображенная на рис. 10.8, а, должна приводить к чистой амплитуде с I = '/г, так как она содержит только одну промежуточную нуклонную линию с / = 7г и / сохраняется в каждой вершине. Поэтому изотопические матрицы в диаграмме без пересечения должны быть пропорциональны Pt/ :
Коэффициент а можно найти, вычисляя аналогичный матричный элемент оператора Р^ и используя равенство (10.596):
(10.59а)
