Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если импульс q виртуального фотона является временипо-добным и q2 превышает Ат2, как для диаграммы рождения пары, изображенной на рис. 8.1, д, поправка в пропагаторе
(8.22) оказывается комплексной с мнимой частью, равной [54]
j dzz{\ - z) ш0 [z( 1 - z) - ^r] =
0
, igav fa Л , 2m2\ I 4tn2 ( 4m2\
Чтобы понять природу мнимой части, вспомним об унитарности шредингеровской 5-матрицы. Мы уже обсуждали это свойство в гл. 6, когда рассматривали нерелятивистский пропагатор. Условие унитарности, которое записывается в виде
5+5 = 1, т. е. 'ZSnlSni = ?>fi, (8.31)
П
позволяет дать вероятностную интерпретацию решениям задачи рассеяния. Согласно условию унитарности сумма всех вероятностей переходов из заданного начального состояния равна единице. В теории, включающей позитроны, частицы могут рождаться и уничтожаться и сумма по состояниям п должна включать все электронные, позитронные и фотонные конечные состояния, в которые может перейти данное начальное состояние. При этом сохраняется смысл (8.31) как условия сохранения вероятности. Поскольку (8.31) является тождеством по е, 5-матрица должна удовлетворять условию (8.31) в каждом порядке теории возмущений по константе взаимодействия. Если
*) См. замечаний в § 18. Подробное обсуждение оснований для такого предположения и вытекающих из него следствий содержится в работах [71,
ПЕРЕНОРМИРОВКА ВНЕШНИХ ФОТОННЫХ ЛИНИЯ
163
мы произведем разложение
Sfi — 6f< + Sfp + Sfi +
(8.32)
то условие унитарности примет вид
(8.33а)
(8.336)
П
(8.33в)
П
Если начальное состояние i представляет собой свободные электрон и позитрон, то «Sf1^ = 0, поскольку реакция е- + е+->1у запрещена законом сохранения энергии-импульса. Соотношению
(8.336) удовлетворяет амплитуда (7.86), которая обладает требуемым свойством антиэрмитовости. Равенство (8.33г) выражает отличную от нуля эрмитову часть амплитуды четвертого порядка через вклады второго порядка. Именно этому вкладу четвертого порядка отвечает формула (8.30); вследствие действительности (8.30) соответствующая часть амплитуды эрмитова. Присутствие в (8.30) ступенчатой функции 0(1 — 4m2lq2) указывает, что это выражение отлично от нуля только при таких значениях импульса, при которых, помимо виртуальных пар в виде замкнутых петель, в конечном состоянии может рождаться реальная пара ’). Наилучшее доказательство унитарности S-мат-рицы в любом порядке теории возмущений дается в квантовой теории поля [50].
§ 36. Перенормировка внешних фотонных линий
До сих пор мы обсуждали вклад замкнутой петли (8.8) в пропагатор виртуального фотона. Замкнутые электронные петли внесут поправки также и во внешние фотонные линии. В этом случае фотон можно представлять себе как испущенный некоторым удаленным источником; соответствующая диаграмма изображена на рис. 8.6.
Вакуумный пузырь, включенный в эту диаграмму, приводит в соответствии с (8.23) и (8,24) к появлению перенормировочной константы Z3 в матричном элементе, записанном без учета по-
*) Величина мнимой части (8.30) как раз такая, что полная вероятность всех переходов из начального состояния равна единице с точностью до а2. Подробнее см. [73].
164
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ К МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. S
правок. Однако при этом ток источника остается неперенормн-рованным. Если фактор д/^з сопоставить с источником, а другой фактор -\/Z3— с интересующим нас блоком, то голый заряд е в каждой вершине заменится на VZ3e = eR. Таким образом, правило обращения с реальными внешними фотонами состоит в том, чтобы пренебрегать поправками ко всем внешним линиям и заменять е на eR в каждой внешней вершине. Это эквивалентно вычислению всех поправочных диаграмм к внешним линиям, включая замкнутые поляризационные петли, и последующему делению на V Z3 для каждой внешней фотонной линии.
В дальнейшем при записи формул мы будем предполагать, что перенормировка уже произведена: е2/4п будет обозначать
1/137, а голый заряд, если он нам потребуется, обозначим как е0.
§ 37. Собственная масса электрона
Диаграмму рис. 8.4, г называют электронной собственноэнергетической частью порядка е2. Соответствующая амплитуда дается интегралом (8.7), а именно
о f d*k <-i) i
— г2(р) = (— ie) \ (2л)4 k2_X2 + i&Vv р_?_т + ,е yv. (8.34)
Выражение (8.34) расходится, поскольку знаменатель содержит k лишь в третьей степени (k во второй степени из фотонного пропагатора и k из электронного). Величина X представляет собой малую массу фотона, введенную для предотвращения инфракрасных расходимостей.
Пользуясь представлением (8.12) и проводя вычисления, аналогичные (8.16), получаем
0 0
X ехр [г ( ^ ^ — m2z2 — K2Zi)]. (8.35)
