Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика" -> 58

Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика — М.: Высшая школа, 2003. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriya2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 113 >> Следующая


(?, т2) -* (q) =

= UAq, nt!) + 'LCi(M2i)I^(q, M^^cJ^q, nif), (8.11)

где М\ — большие массы, а постоянные С* выбраны так, чтобы интегралы сходились. Такой способ обрезания не является единственным и выбран лишь для математической определенности. Если какие-либо физические наблюдаемые величины окажутся зависящими от параметров обрезания, теорию придется признать несостоятельной. Во всяком случае, существование расходящихся выражений наводит на подозрения о существовании при больших импульсах (или, что то же самое, на малых расстояниях) трудностей в теории.

Обратим внимание на следующее важное преимущество метода обрезания (8.11): он обеспечивает выполнение условия калибровки (8.9). Если бы мы произвели обрезание в каждом отдельном пропагаторе, условие калибровочной инвариантности не было бы соблюдено.

Вычисление величины I^iq), удовлетворяющей условию (8.9), проще всего производится путем представления знаменателя пропагатора в экспоненциальной форме с помощью тождества

оо

----L— = 1 ^ + т) ^(k + m)[ dzel^k2-m,+^. (8.12)

k-m+iz & - m2 + ie J ’

Это дает

ОО ОО

Iv* (?) = - 4 (- ie)2 5 dzx 5 dz2 5 -0 x

0 О

X [?ц (k — q)v + kv (k — q)^ — (k2 — k ¦ q — m2)] X

X exp {iz\ [k2 — m2 + ze] + iz2 [(k — q)2 — tn2 + z'e]}, (8.13)

где было произведено взятие следа и изменен порядок интегрирования. Дополняя показатель экспоненты до полного квадрата

') См. [54, 68]. Альтернативный метод преобразования расходящихся интегралов, который впервые привел к калибровочно-инвариантному результату. Развит в работе [69].
158

ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ К МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 8

путем замены переменной интегрирования согласно

l=k---------Q-~- = k-q+ , (8.14)

г, + z2 4 г, + 22 4 ’

производим интегрирование по импульсу с помощью равенства1) [ d4/ Г] / //1 ег/« =___________________J-----[l 0 ———1 (8 15)

J (2я)4 1 ’ (1’ “ 16я2/(г, + 22)4 ’ ’2(г,+ 22)J’

В результате получаем

V = — г X! Сг IT S S (2l + z2)2 Х

I О о

х {ехр[' (У “ И -ie) + **))]} х

X { 2 — V7v) (2l + г2)2 + Stiv[{Zi +22) — (if+^Й +mi] } •

(8.16)

Член, пропорциональный (g^q2— q^v), автоматически удовлетворяет условию калибровки (8.9), в то время как последние

три члена, пропорциональные этому условию не удовлетво-

ряют. Однако можно показать, что они уничтожаются, т. е.

оо оо

И^г, dz2 у Г 2___________[______________Q2ZiZ2 1 у

(Zl + z2)2 Zj i I > (Zi+ z2) (Zi + z2)2 J A

0 0 i

x {exp ‘ b2 ~ И ~ie) }=

оо CO

_ f f dztdz2 у Г „ _ . I_______q2z,z2 1

— J J (2, + z2y L Ci Г*‘ Я (г, + Zo) (г, + z2)2 J A

0 0 i

X { exp il [q2 {Z*+Z2) - (m? - «) (г, + z2)] } =

OO 00

= a Ж SS Я(гГ+Ь» I exp {a [(Й%) - К “ г'е) (г> + г2)] } •

О О i

(8.17)

*) Это равенство проще всего выводится в прямоугольной системе коор-

динат. Если повернуть контур интегрирования на 45°, каждый из интегралов превращается в гауссовский, например,
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА

159

Здесь по ходу выкладок мы сделали замену 2;-+Яг*. Полагая далее в подынтегральном выражении *zit убеждаемся, что интеграл не зависит от следовательно, (8.17) есть тождественный нуль.

Оставшийся вклад в /^v вычисляется с помощью того же самого приема, состоящего во введении масштабного множителя. Воспользуемся тождеством

оо

1 = J _-?L+?2.). (8.18)

О

Тогда

ОО ОО ОО

Т / \ 2га / 2\ С С f dX dzi dz2 zxz2 4 ,

/,v (<?) = -Mv-M2)) ) ) Я(;,+г2)* X

000

i

CO CO oo

= ^ (Qrfv — g^q2) \ 5 S dZl 2,226 (1 — Zi — Za) X

ООО

X Yj ciexp liK i^ziz2 “ + ie)]. (8-19)

i

где мы опять сделали замену zt -> Xzt.

К сожалению, интеграл по К логарифмически расходится, и мы вычислим его с помощью процедуры обрезания. Выбирая в

(8.11) Ci = — 1, Ci = 0 (? > 1), находим

= V (tn2) — /цу (М2) «

1

» (<7n<7v - ?nv<72) J dz z (1 — z) In -г- ^(-f _ г) =

0

“ ? (^v - g»vq2) [in-g- 6jdzz(l-z)ln (l--^jZ(l—z))j.
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed