Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
6. В соответствии с (6.56) амплитуда имеет общий множитель (—1)”, где п — число позитронов в начальном состоянии.
Прежде чем сравнивать теорию с экспериментом, остается решить еще существенный вопрос о вычислении интегралов, в особенности для диаграмм четвертого порядка. Диаграммы (а) и (б) на рис. 8.1 вместе с двумя диаграммами с перекрестными фотонными линиями, получаемыми из (а) и (б) перестановкой вершин х и у, приводят к трудному для вычисления четырехмерному интегралу типа (7.51). Мы не будем заниматься вычислением таких интегралов.
При рассмотрении диаграмм (в) и (5) на рис. 8.1 удобно перейти к импульсному представлению и связать эти диаграммы с соответствующей диаграммой низшего порядка, изображенной на рис. 7.12,6, которая дает вклад во второй член амплитуды
(7.86). Переходя к импульсному представлению, находим, что
§ 34] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА ПОЗИТРОНОМ
Sft0) отличается от второго члена в (7.8G) заменой тока
и (р[) ey^v (tf) -» а (р{) \ 1?=А- (- ie Yv) X
X -7-
155
й- 1-------Г- eYn —т—7----------— (- МУ4) v (q\), (8.6)
р\—к — т+1Ъ — 4i~ k — tn+ie v '
a Sft0 отличается тем, что в качестве волновой функции конеч-
ного электрона подставляется выражение
d4k - i
(2я)4 k2 + ге
X —
(— ieyv) х
Pj — k — т + ге (43)
(— ieyv) -г
Pj — m + ie
(8.7)
и, наконец, амплитуда S\i отличается подстановкой вместо фотонного пропагатора следующего выражения:
|2
Г (— О "I2
(-цЬ,+ *)» + /¦] х
(Р1 + <7i)2 + ге
d k i / * \ i
—— Sp (— teyj -----------------------— (— ieyv) -— --------------------;---------------—
(2я)4 k — m -f ге k — pi — q\ — m -f ге
=__________(— i) , i „ \ (— i) _
ге
X
(p, + q,)2 + ie WP1-1-W {pi + qi)2 + ie
(8.8)
Блоки диаграмм, которым соответствуют выписанные выражения, приведены на рис. 8.4.
Рис. 8.4, Диаграммы Фейнмана, иллюстрирующие: (в) — поправку к вершине (см. рис. 8.1, в); (г) — электронную собственно-энергетическую часть (рис. 8.1, г); (д) — поляризацию вакуума (рис. 8.1, д).
Все остальные диаграммы четвертого порядка содержат вклады диаграмм трех рассмотренных типов. К сожалению, такие замкнутые петли приводят к выражениям, которые расходятся при й-уоо. Перейдем теперь к последовательному исследованию и вычислению этих диаграмм.
156
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ К МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 8
§ 35. Поляризация вакуума
Самую сильную расходимость содержит выражение (8.8), которое отвечает замкнутой электронной петле, изображенной на рис. 8.4, д. Вклад этой диаграммы называют фотонной собственно-энергетической частью второго порядка. Соответствующий интеграл содержит два электронных пропагатора, поэтому в числителе остается вторая степень k и интеграл квадратично расходится.
Достаточно правдоподобный способ устранения квадратичной расходимости основан на использовании условия калибровочной инвариантности. Подобные рассуждения уже приводились ранее перед формулой (7.60). Калибровочное преобразование Лц (?) [q) + (q) не должно изменять конечного резуль-
тата вычисления физической амплитуды. Посмотрим, к каким
следствиям для интеграла (8.8) приводит это требование.
Пусть фотон на диаграмме рис. 8.4, д является реальным, т. е. имеет q2 — 0, как, например, тормозной фотон, или фотон, участвующий в комптон-эффекте. Как изображено на рис. 8.5, электронная петля дает поправки порядка е2 к току, текущему через блок, взаимодействующий с Лц(<7) (на рисунке этот блок обозначен вопросительным знаком). Калибровочная инвариантность требует, чтобы произведение qц на ток обращалось в нуль. Таким образом, для (8.8) имеем
<7^(<7) = 0 (8.9)
при условии
Произведение Я1Х^ц\(Я) можно записать следующим образом:
(я) = - е2 Sp ^ q -------!—— Yv т—~—— =
J (2я)4 k — nt -f ie k — $ — m te
= — e2 Sp \ d k --!-\(k — tn + ie) —
V J (2л)4 k - q - m + Ы '
— (k — q — m + ze)] -7---Ц— Yv =
k — m + it
Рис. 8.5. Поправка к электромагнитному процессу за счет поляризации вакуума.
= -!------- —1-----'j Yv. (8.Ю)
J (2л)4 \k-q-m + ie k — т + ге / •
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА
157
Если бы интеграл сходился, мы могли бы в первом члене положить k' — k — q и в результате вычитания двух одинаковых интегралов получить нуль. Однако интеграл расходится, и выражение (8.10) оказывается неопределенным. Чтобы продвинуться дальше, обрежем выражение (8.8) на высоких частотах путем замены ’)
