Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧИ
1. Получить (3.11) непосредственно из уравнения Дирака.
2. Доказать, что равенство (3.9) справедливо независимо от конкретного представления для дираковских спиноров.
3. Получить выражение для потока (3.31).
4. Показать, что (3.36) есть следствие сохранения потока.
5. Найти уровни энергии дираковской частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме глубиной Vo и шириной а.
6. Проверьте следующее условие полноты:
/, 4 г \ . (\ — Л*
(3.37)
I inc
ГЛАВА 4
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ — ВАУТХАЙЗЕНА § 12. Введение
Если не принимать в расчет проблему отрицательных энергий, то уравнение Дирака дает вполне удовлетворительное описание электрона. Оно имеет разумный нерелятивистский предел и приводит к правильному значению магнитного момента. Теперь мы займемся исследованием взаимодействия дираковского электрона с заданным внешним потенциалом. В первую очередь нас будет интересовать область низких энергий, свободная от трудностей, связанных с решениями с отрицательной энергией. При рассмотрении волновых пакетов в предыдущей главе мы подчеркивали, что роль этих решений практически очень мала в таких вопросах, как, например, задача об атоме водорода, когда электрон локализован на боровской орбите с радиусом ‘) 1/ат » 1/т.
Мы убедимся в том, что стационарные уровни энергии атома водорода, полученные с помощью уравнения Дирака, чрезвычайно близки к наблюдаемым. Однако, прежде чем приступить к поиску собственных значений в кулоновском потенциале, будет весьма поучительно сформулировать дираковскую теорию в такой форме, когда взаимодействие электрона с внешним полем представлено суммой членов, каждый из которых имеет наглядный нерелятивистский смысл.
Рассмотрим поэтому последовательный метод, предложенный Фолди и Ваутхайзеном [35], а именно каноническое преобразование, при котором уравнение Дирака превращается в пару двухкомпонентных уравнений. Одно из них в нерелятивистском пределе переходит в уравнение Паули, другое описывает состояния с отрицательной энергией.
') Ниже мы везде будем полагать А = с — 1. Комптоновская длина волны электрона равна 1 /т = 3,86-10_11 см. а его энергия покоя т — 0,511 Мэе.
Постоянная тонкой структуры а = е2/4я 1/137 В этих единицах
10" , 1021 ,
0,511 Мэв = 1м см-' =^29 сек-' = т.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
53
§ 13. Преобразование для свободной частицы
В качестве первого примера проделаем преобразование Фолди — Ваутхайзена над уравнением Дирака для свободной частицы. Для этой цели удобнее записать уравнение Дирака в гамильтоновой форме, используя для матриц а представление (1.17). Мы ищем унитарное преобразование UF, которое освободит уравнение от всех операторов типа а, связывающих между собой «большие» и «малые» компоненты. Любой такой оператор будем называть нечетным; те же операторы, которые не связывают между собой «большие» и «малые» компоненты, назовем четными. Согласно этому определению операторы а, у. Ув и т. д. являются нечетными, а операторы 1, р, о и т. д. — четными. Записывая UF в виде
UP = e+iS,
где оператор S эрмитов и не зависит от времени, получаем следующее унитарное преобразование:
i|/ =
и
/ J!$L == e+tsHty = e+isHe~is= H'tf.
Мы требуем, чтобы Н' не содержал нечетных операторов.
Поскольку Я = а-р + рт, причем {а, р} = О, наша задача совершенно эквивалентна задаче о нахождении унитарного преобразования, которое приводит двухкомпонентный спиновый гамильтониан Ж = охВх + ozBz к виду, содержащему лишь четные операторы (такие, как 1 и о2). Как известно, такое преобразование есть просто поворот вокруг оси у, и ему отвечает оператор е<(/2) °00° = e^z0*0», где tg Q0 — Bx/Bz. Поэтому можно предположить, что в нашем случае искомый оператор имеет вид
elS = е9а-р0(р) ¦_ cos | р 16 + iyLlJL sin | р 10;
здесь правая часть равенства получена разложением экспоненты в ряд по степеням 0. При таком выборе преобразования имеем
Н' = (cos | р 10 (р) + -^sin|p|0(p)) (a.p+pm)X
X (coslp I 0 — -^p-sinl p |0) =
= (« • P + N) (cos| p 10 — -^-p sin| p |0)2 =
= (« • P + $m) exp (— 2pa • p0) =
= a • p(cos2|p |0 — j—- sin 21 p J б) +
+ p (m cos 21 p 10 + | p | sin 21 p 10).
54
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ — ВАУТХАЙЗЕНА
[ГЛ. 4
Чтобы избавиться от нечетного оператора, положим
Тогда преобразованный гамильтониан
Я' = рУт2 + р2,
(4.1)
в чем легко убедиться, глядя на изображенный на рис. 4.1 треугольник. Мы получили тот самый гамильтониан, который был
Рис. 4.1. Треугольник, отвечающий преобразованию Фолди — Ваутхайзена.
