Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
нас от необходимости явно выписывать все матрицы и компоненты спиноров.
Чтобы получить релятивистски-инвариантную теорию, мы ввели решения с отрицательной энергией и импульсом р, которые, согласно (3.8), являются собственными функциями оператора импульса р с собственным значением —р. Подобным же образом, согласно (3.19) и (3.21), решения с отрицательной энергией, описывающие состояния со спином вверх и спином вниз, переходят в системе покоя в собственные функции оператора Oz с собственными значениями, равными •—1 и -J-1 соответственно. Физическая причина такого «соответствия наоборот» для решений с отрицательной энергией станет ясной, когда мы в гл. 5 рассмотрим теорию дырок.
§ 11. Физический смысл решений в виде плоских волн
и волновых пакетов
Теперь мы можем построить локализованные волновые пакеты путем суперпозиции решений в виде плоских волн. В силу принципа суперпозиции эти пакеты также будут решениями уравнения Дирака для свободной частицы, поскольку уравнение Дирака линейно. Займемся изучением пакетов, чтобы достичь более глубокого понимания физического смысла решений для свободной частицы.
Начнем с того, что построим пакет только из решений с положительной энергией:
ф<+> (х’ 0 = 5 л/^F Z b {p’ s) u {p' s) e~lp»*'k. (3.23)
Для нормировки коэффициентов разложения b(p,s) на единичную вероятность обратимся к соотношениям ортогональности (3.11). Получим1)
^ d3xV+)+(x, 0V+)(x, 0 =
= J d3p ? b* (p, s') b (p, s) u+ (p, s') и (p, s) =
± s, ± s'
=Sd3p Yj i ь (P’s) '2 == 1 • (3-24>
') Приведем известные свойства 6-функции Дирака, используемые при выводе (3.24),
§ U] ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РЕШЕНИЙ 45
Средний ток для такого волнового пакета дается средним значением оператора скорости
•/ж=$гр+,+саф<+)^х. (3.25)
Вычислим J(+), воспользовавшись следующим важным соотношением между тремя 4-векторами, которые можно построить из решений для свободной частицы:
если %(*) и гр2(л:) есть два любых решения уравнения Дирака
(р — тс) (х) = О,
то
сфо-у^! = "2~- №2/^1 — (р^Фг) ^il — Pv (^2^v^i). (3.26)
Чтобы доказать (3.26), заметим, что для любых двух 4-векторов а» и справедливо равенство
ab = а^Ьу [у (yY + Y V) + у (Y'V — 'Vv'VM)] =
= tfb„ - id1bvaiiv. (3.27)
Далее, исходя из уравнения Дирака, напишем ?
О = -ф2 (— Р — тс) + '«М (Р — тс) 'Ф1 =
_ _ -> ->
= — 2тсф2а,ф1 + “ф2 (a* р„ — ia^a^ — + ipWo^) 1)3,,
где фр = РцфУ11- Отсюда (3.26) получается приравниванием коэффициентов при произвольном векторе а».
Равенство (3.26) известно как разложение Гордона [31]. Оно выражает дираковский ток как сумму тока переноса, аналогичного нерелятивистскому, и спинового тока.
где интегрирование проводится по интервалу, включающему точку s = а, и предполагается, что в этом интервале функция f(s) не имеет особенностей;
а (у)-ММ®). и^о.
Понятие б-функции является математически строгим; оно обосновывается в теории обобщенных функций; см., например, [30].
46
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 3
Используя (3.26) при ^2 = ^1=^ и (3.23), для тока (3.25) находим
Y Ь*(р', s')b(p,s)ei{p'-p)Vx
± S, ± s'
Х ’Ш “ (Р'> ^ С(p'i + Pi) + ial (ру — Pv)] U (P’ S) =
=5^ (з-28)
7r- 5
или, учитывая нормировку (3.24),
J(+> = <ca)+ = (^-)+ = <vrpynn}+, (3.29)
где символ ( )+ означает среднее значение по пакету с положительной энергией. Таким образом, средний ток для произвольного пакета, построенного только из решений с положительной энергией, есть просто классическая групповая скорость. Подобное утверждение хорошо известно из нерелятивистской шре-дингеровской теории.
Теперь мы перейдем к важному отличию, присущему релятивистской теории. В шредингеровской теории в выражение для тока входит оператор р/т, который является константой для свободного движения. В теории Дирака, однако, ток не пропорционален импульсу и, в то время как из соотношений Эрен-феста (1.27) следует, что для свободного движения dp/dt = О, оператор скорости са не является константой, поскольку [а, Н] ф 0. Действительно, собственные функции оператора са должны строиться из решений как с положительной, так и с отрицательной энергией, так как собственные значения са1 равны ±с, тогда как согласно (3.29) |(са*)+| < с.
Включим в наше рассмотрение решения с отрицательной энергией и построим волновой пакет из полного набора решений для свободной частицы. Обобщением (3.23) будет
*(х’ 0 = S TiSk s) и {р’ s) e~ip^'h +
