Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
4
Z«X(p)®((p) = V (3-9в>
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
39
Уравнение (3.9а), получаемое применением дираковского оператора (?V — т) к функциям (3.8), есть уравнение Дирака для свободной частицы в импульсном пространстве. Для r= 1, 2 имеем 8г=-)-1 и (р— mc)wr(p) — 0. Это уравнение для двух решений с положительной энергией, задаваемых двумя первыми столбцами матрицы (3.7). В нерелятивистском пределе их третьи ,и четвертые компоненты являются «малыми» и в отсутствие внешнего поля эти решения переходят в (1.29) и (1.31). Для решений с отрицательной энергией «большие» и «малые» компоненты меняются местами. Мы ввели также сопряженный спинор согласно определению (2.28):
wr (р) = а>г+(р) Yo-
Он удовлетворяет сопряженному уравнению
wr (р)(р — ггтс) — 0, (ЗЛО)
которое получается, если взять эрмитово-сопряженное от уравнения (3.9а), умножить его справа на у0 и воспользоваться равенствами (v°)2= + 1 и y°y,a+Y0 = Y11-
Соотношение (3.96) является ковариантным условием нормировки. Как было показано в предыдущей главе, билинейная форма wr (р) W' (р) представляет собой лоренцев скаляр (см. (2.39)), поэтому достаточно проверить выполнимость (3.96) для решений (3.2), описывающих покоящуюся частицу. Плотность вероятности W + (Р) wr (р) не является инвариантом, а преобразуется как временная компонента 4-вектора (см. (2.27)). Пользуясь для вычислений столбцами матрицы (3.7), находим
wr + (erp)wr'(ег,р) = -^6гг>. (3.11)
Отсюда видно, что нужно ввести в плотность вероятности нормировочный фактор тс21Е для компенсации лоренцева сжатия элемента объема вдоль направления движения и обеспечения инвариантной нормировки 4-вектора плотности тока. Обратим внимание на то, что (3.96) есть соотношение ортогональности между спинором и сопряженным спинором с одними и теми же значениями импульса р, в то время как согласно (3.11) спинор с положительной энергией ортогонален эрмитово-сопряженному спинору с отрицательной энергией и противоположным импульсом. Таким образом, две плоские волны с одним и тем же импульсом р, но противоположными энергиями, ортогональны, т. е. 4'r+ (х) i|)r' (х) = 0, если г — 1, 2, а г'= 3, 4, либо наоборот.
Соотношение (3.9в) есть условие полноты для четырех ди-раковских спиноров при заданном значении импульса. Для свободной покоящейся частицы оно очевидно. Чтобы доказать его Для произвольного значения импульса, сделаем преобразование
40 РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 3
Лоренца к системе покоя, а затем воспользуемся спинорами
(3.2):
4 4
Y егК (р) w6 (р)= Y e'“Sav (— т) “’v (°) (0) Sip (— -? ) =
С = \ Г=\
То обстоятельство, что в соотношении полноты фигурирует ш, а не до+, есть следствие равенства
г»+ _ -,0г* — ^ 0
5 = у S у ,
которое в свою очередь отражает тот факт, что преобразование Лоренца не является унитарным.
Действуя на решения (3.2), которые описывают покоящийся электрон, поляризованный в направлении z, операторами поворота
5 = e(i/2)(po's
можно получить состояния, поляризованные в произвольном направлении s. Такие состояния определяются равенством
о • sw = w,
где спинор w описывает частицу, поляризованную вдоль направления единичного вектора s. Благодаря структуре входящей в (2.24) матрицы о конкретный вид спиноров близок к виду двухкомпонентных спиноров Паули.
Для дальнейшего изложения удобно ввести несколько иные обозначения. Обозначим посредством u(p,s) спинор, являющийся решением уравнения Дирака с положительной энергией, импульсом р» и спином s^. Спинор и(р, s) удовлетворяет уравнению
(р — mc)ap Ыр (р, s) = 0. (3.12)
Четырехмериый вектор спина 5м- определяется с помощью трехмерного вектора поляризации s<°) в системе покоя следующим образом:
= a(js(0) v;
здесь s(O)v = (0, s°), a a!J — коэффициенты преобразования к системе покоя, т. е. р» = а»р{0) v, где p<0)v = (mc, 0). Заметим, что = — 11 р«>) 1*5(°) м- = о и, следовательно, ^5^ = 0. В сйстеме покоя спинор и удовлетворяет уравнению
о • s(% (р,(>\ sl0)) = и(р'0), s«°>). (3.13)
§ 10| ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ ЭНЕРГИИ И СПИНА 41
Аналогично обозначим посредством v(p, s) решение с отрицательной энергией
(p + mc)v(p, s) = 0 (3.14)
и поляризацией в системе покоя, равной —s<°). В системе покоя для v имеем
а • s<0)v (р(0\ s(0)) = — v {р'°\ s(0)). (3.15)
Спиноры и(р, s) и v (р, s) связаны со спинорами wr(р) следую-
щим образом:
w' (р) = и (р, Uz), W3 (р) = V (р, - uz), w2 (р) = и (р, — иг), ш4 (р) = V (р, игу, здесь м? —4-вектор, который в системе покоя имеет вид «<Г = (0, «<°>) = (0, 0, 0, 1).
