Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика" -> 13

Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика — М.: Высшая школа, 2003. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriya2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 113 >> Следующая


Re Га(3 = а (Гц- ч = 2^v> [^д/дх^ - т] Ъ (*) = 0.

т. е. уравнение Дирака не содержит мнимых коэффициентов.
ГЛАВА 3

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА

ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ

§ 9. Плоские волны

Мы убедились в том, что дираковская теория лоренц-кова-риантна и для решений с положительной энергией имеется разумный переход к нерелятивистскому пределу.

Для более глубокого понимания физической природы решений уравнения Дирака надо рассмотреть уравнение для свободной частицы. Четыре решения для частицы в покое даются формулами (1.24), которые можно переписать в следующем виде:

В представлении (1.17) для матриц Дирака входящие сюда спиноры равны

Первая пара решений описывает две спиновые степени свободы электрона, подчиняющегося уравнению Паули. Другой паре решений (г — 3, 4) с отрицательной энергией еще предстоит дать физическую интерпретацию. Все четыре решения являются собственными функциями оператора ст2 == cti2 с собственными значениями + 1 и —1. Решения для свободной частицы с произвольной скоростью можно получить с помощью преобразования Лоренца (2.10). Переходя к системе координат, движущейся со скоростью —v относительно системы, в которой электрон по-

г|>г (х) = wr (0) е-(игтоЧН) \ г = 1, 2, 3, 4, (3.1)

где

(3.2)
ПЛОСКИЕ волны

37

коится, мы получим волновую функцию свободного электрона, движущегося со скоростью +v.

Для того чтобы явно выразить зависимость от 4-радиус-вектора частицы, надо записать входящую в (3.1) экспоненту в инвариантной форме:

( тс2 \ ( р^х'1 \ ( pILx'v \

ехр \ — iEr—t) = ехр ier J = ехр ierJ , (3.3)

где x= a»xv

и /?>* = a»pv (0) = a»mc; мы будем везде пользо-обозначением р° = Е/с = + д/р2 + т2°2 > О- ПРИ с°б*

ваться

ственных преобразованиях Лоренца и пространственном отражении решения с положительной и отрицательной энергией преобразуются независимо, не перепутываясь друг с другом. Это видно из выражения (3.3), поскольку 4-импульс свободной частицы времениподобен, р»р^ = тс2 > 0. Следовательно, 4-вектор р^ лежит внутри светового конуса в ^-пространстве. Преобразования Лоренца, дополненные пространственной инверсией, не переводят ось р° из одной полости светового конуса в другую, поэтому сохраняется разделение решений на решения с положительной и отрицательной энергией.

Согласно (2.23) спиноры преобразуются с помощью оператора

S = e~{i/2) “<7о,) (3.4)

где для простоты мы выбрали направление скорости вдоль оси х. Входящий в (3.4) лоренцев угол и равен

со

= arcth ( — ~г) = — arcth

и отличается по знаку от (2.21), так как мы производим преобразование к системе координат, движущейся вдоль оси х со скоростью —V.

Применяя преобразование (3.4) к спинорам (3.2), получаем

Wr (р) = g-«a>/2) <Jmwr (0) = ^ch .2-<xj sh wr (Q) =

= ch-

-th?

- til-

wT (0). (3.5)

Из формул (3.2) для our(0) ясно, что спинор o>r(p) есть просто столбец с номером г этой матрицы преобразования. Используя
38

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ

[ГЛ. 3

тригонометрические формулы

,, со — th со

— th — = ¦

v/c

рс

1 + у 1 - th2 (

1 + Vl — V2lc2

Е + тс2

ch

Е + тс2 2 тс2

(3.6)

можно выразить wr(р) через энергию и импульс частицы.

Можно обобщить (3.5) для произвольного направления скорости V. Для этого в (2.19) следует заменить матрицу / на

О

— cos а

— cos Р — cos у

где cos а, cos р и cos у — направляющие косинусы скорости V. Тогда

/5 =

cos а --- COS Р --- cos у
0 0 0
0 0 0
0 0 0
ffnv/« = 2 (cr0i cos а + а02 cos р + а03 cos у) — — 2/

Используя (3.6), получаем отсюда

0 ( ш а • v Л

S = exp(— Т17Г} =

. а- v

-V

Е Ц- тс2 2тс2

0

1

Р_с

Я + тс2 р+с

? + тс2 ~Ррс

Ргс

Ё + /пе2 Р + С Е + тс2

1

О

Е + тс2

~Ргс Е + тс2

О

1

(3.7)

? + /пс2 ? + тс2

здесь р+ = рх± ipy Общий вид решения для свободной частицы есть

¦фг (х) = wr (р) e~tBr ("и*11/*), (3.8)

где в представлении (1.17) для матриц у спинор wr(р) есть столбец с номером г в матрице (3.7).

Спиноры Z0r(p) удовлетворяют следующим полезным соотношениям:

(р — ermc) wr (р) = 0, (3.9а)

Wr (р) W' (р) = firr'8r, (3.96)
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed