Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
^ г|з+ (х) г|з (х) d3x
представлял собой релятивистский инвариант.
Поскольку входящая в (2.27) комбинация г|з+уо встречается очень часто, введем для нее специальное обозначение
ф(х) = i|)+Yo. (2.28)
Функцию ф(х) называют сопряженным спинором1). Преобразование Лоренца для ф (х) задается равенством
(2.29)
‘) Или дираковски-сопряженным. (Прим. ред.)
КОВАРИАНТНЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
33
§ 7. Пространственное отражение
Теперь пора расширить наше изложение и принять во внимание существование несобственного преобразования Лоренца — пространственного отражения:
Для ковариантности вновь необходимо, чтобы уравнение (2.12) имело решение, однако в данном случае его нельзя построить из инфинитезимальных преобразований. Но оказывается, что уравнение (2.12) легко решить непосредственно. Матрица преобразования имеет вид
Если ввести для оператора инверсии координат обозначение S — Р, то уравнение (2.12) будет выглядеть так1):
Фазовый множитель не представляет физического интереса, и его значения сводятся либо к ±1, либо к ±i. К такому выбору мы приходим, потребовав, чтобы при четырехкратной инверсии спинор переходил сам в себя по аналогии с вращением на угол 4л. Очевидно, что задаваемый равенством (2.32) оператор Р унитарен, Р~х — Р+, и, кроме того, он удовлетворяет уравнению
(2.26). Равенство (2.32) означает, что
В нерелятивистском пределе ф стремится к собственному состоянию Р и из (1.24) и (2.6) видно, что в покое состояния с положительной и отрицательной энергией имеют разные собственные значения Р, или, как говорят, разные внутренние четности.
Рассмотрение других несобственных преобразований, таких как обращение времени, более сложно; оно приводится в гл. 5.
§ 8. Ковариантные билинейные формы
Составляя произведения из матриц у, можно построить 16 линейно независимых матриц Г^р, которые часто встречаются в
(2.30)
г» —1 V n VV V
Р Y P = g Y •
(2.31)
Ему можно удовлетворить, положив
р = eivy0.
(2.32)
(2.33)
') Здесь суммирование по v не подразумевается. (Прим. ред.]
34 ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ГГЛ. 2
приложениях теории Дирака. Эти матрицы имеют вид Г5 = 1 Yv = V Гг =ст
> ц, Hi’ uv uuv>
rp = /v°Y1Y2Y3 = Y5 = Y5, r^YsY,*- (2.34)
Используя соотношения антикоммутации (2.5), нетрудно доказать линейную независимость матриц Г. Будем рассуждать следующим образом:
1. Каждая из матриц Гп удовлетворяет условию (Гп)2 = =: i 1 •
2. Для каждой из матриц Г™, за исключением Ts, существует
другая матрица Гт такая, что
т___ _ pmpn
Отсюда следует, что след матрицы Г" равен нулю:
Sp Г" = Sp Г" (Гщ)2 = - Sp ГтГпГт = — Sp Г" (Гт)2 = 0.
3. Для заданных матриц Га и Г6, а Ф Ь, существует матрица Г” ф Гя такая, что
рдрЬ___prt
Это свойство можно установить непосредственной проверкой.
4. Предположим, что существует набор чисел ап такой, что
ЕалГ" = 0.
п
Умножим это равенство на Гт ф Ts и вычислим след; используя свойство 3, мы получим, что ат — 0. Если Гт = Ts, то as = 0 и все коэффициенты, таким образом, обращаются в нуль. Тем самым линейная независимость Г™ установлена. Отсюда следует, что любую матрицу размерности 4X4 можно представить в виде комбинации матриц Г".
Теперь мы можем записать преобразование Лоренца для билинейных форм ф (я) Гпф (jc) , построенных из 16 матриц Г". Заметим прежде, что
Y^Ys + Y5Y^ = 0 (2.35)
и поэтому
[Ys, <V] = °>
или
[S, YbI = 0, (2.36)
что справедливо для всех собственных преобразований Лоренца. Частным случаем (2.35) является равенство
P\5=-\sP- (2.37)
ЗАДАЧИ
.35
С помощью вычислений, схожих с (2.27), находим
ф' (д') ф' (д') = ф (а:) ф (д) — скаляр,
Ф' (*') Vs1!5' (х') = Ф (х) S^YsS^ (д) = det | а | ф (д) у5ф М — псевдоскаляр,
ф' (д') у',ф/ {х') = а|1ф (д) у^Ф (а:) — вектор, ф' (д') у5У','Ф/ (х') — det | а \ а^ф (д) у5\м'Ф М — псевдовектор, ф' (д') ст^ф' (д') = а^ф (д) ста0ф (д) — тензор второго ранга. (2.38)
ЗАДАЧИ
1. Проверьте равенство (2.26).
2. Проверьте законы преобразования (2.38).
3. Задан спинор и(р) для свободной частицы. С помощью преобразования Лоренца выразить через и(р) спинор и(р + q) в случае, когда q^ -> 0 и p-q^-0.
4. Показать, что существуют четыре матрицы Г'1 размерности 4X4 та-кие, что
