Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика" -> 11

Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика — М.: Высшая школа, 2003. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriya2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 113 >> Следующая


S=l + j hv, Yv]^v=l -jo„vA(oP*. (2.17)

Завершая решение нашей задачи, получим конечное собственное преобразование Лоренца как последовательность инфинитезимальных преобразований. Сначала построим
30 ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА (ГЛ. 2

преобразование (2.1) из (2.13). Запишем

М=д&>№ (2-18)

Здесь Дм— бесконечно малый параметр, или «угол поворота» вокруг оси с направлением п, а величина 1п представляет собой матрицу 4X4, действующую на пространственные координаты и время и отвечающую повороту на единичный угол вокруг оси п. Индексы v и (л нумеруют соответственнно строки и столбцы этой матрицы. Так, например, для перехода к штрихованной системе координат, движущейся вдоль оси х с бесконечно малой

скоростью, сДш = До, имеем

/ о — 1 о о\

АЫ ~п ! !! п° I (2.19)

0 ООО 0 ООО'

При этом

/т = /о-= — / = + Г = - 1.

Используя следующее алгебраическое свойство:

(1 о о о\

0 1 0 0 I /3 = + /

0 0 0 0 Г 1 ^ ’

0 0 0 0/

мы можем представить конечное преобразование к системе отсчета, равномерно движущейся вдоль оси к, в виде

*»' ^ lim (g + JL (g + J|L /) ... ха" =

N-*oо V 'v 'а, 4 'у 'о,

— (еш/)ц х» = (ch <о/ + sh ю/)ц х» = (1 — /2 +12 ch ш + / sh ш)ц откуда для отдельных компонент получаем

^*°\

(2.20)

х1' = (ch ш) (х1 — th со х°),

*»' = *». (2-21) Связь угла лоренцева поворота ш с относительной скоростью v дается равенствами

th ю = —, ch ш = 1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОВАРИАНТНОСТИ

31

Этот результат можно обобщить на случай движения вдоль любого направления или пространственного вращения вокруг любой оси. Шесть матриц /,!, генерирующих шесть независимых лоренцевых поворотов, являются четырехмерными обобщениями поворотов трехмерного пространства, хорошо известными из нерелятивистской теории.

Перейдем теперь к построению матрицы 5, определяющей конечное преобразование спинора гр (л-). Из (2.14) и (2.18) имеем

г|/ (*') = 5г|з (х) = Jim (1 — ~ Ф М =

= exp ( — j сог|) (х). (2.22)

Если вновь обратиться к преобразованию частного вида (2.19),

получим

г|/ (х') = e~W2) (х), (2.23)

где х' и х связаны друг с другом равенствами (2.21).

Аналогично для поворота на угол <р вокруг оси г имеем /12 = — /21 = — I

и

^(/) = e(^)?o'^(x), (2.24)

где в представлении (1.17)

а 03 есть обычная матрица Паули размерности 2X2

(\ 0\

03 (о -1 )•

Мы замечаем сходство преобразования (2.24) с поворотом двухкомпонентного спинора Паули <р(*):

ф' (х') = е(1/2) й>'° ф (х). (2.25)

Входящие в (2.18) ковариантные «угловые» переменные co|iV играют в преобразовании Лоренца ту же роль, что угол поворота и направление ю в трехмерном вращении. Появление в (2.24) половинного угла, фигурирующего и в (2.25), есть отражение двузначного характера закона преобразования спиноров при вращении; нужно совершить поворот на 4я, чтобы значение спинора вернулось к начальному. Поэтому все наблюдаемые величины в теории Дирака должны быть либо билинейными по г|э(х), либо выражаться через другие четные степени гр (л:).

Для пространственных вращений матрица S = SR унитарна, поскольку матрица cri3- эрмитова и

St =e~Wi)a+,,a>4 = e~uli)ail<ail = Sxl.
32 ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА [ГЛ.2

Это несправедливо для матрицы 5 = SL, осуществляющей переход к движущейся системе координат. Например, для преобразования (2.23)

Sl = е~Ц12) “0<" = е~{ш12) = St ФБТ'.

Однако SL обладает следующим свойством:

5? = YoSL У O’

которое можно установить, разлагая SL в степенной ряд. Поскольку [уо, а*3'] = 0, это свойство можно обобщить на вращения и записать

S-‘=YoS+Yo. (2.26)

Уравнение непрерывности также ковариантно. Вектор плотности тока вероятности (1.21) и (1.22) в обозначениях (2.4) выглядит так:

f (х) = с\|>+ (х) y°y4 (х).

Под действием (2.1) он переходит в

}» = Сф/+ (*') yW (х') = ci|>+ (х) S+YoY^ W =

= сф+ (х) Yo-S-W = (x) YoY^ W = «v/v (x). (2.27)

Очевидно, что /д(х) является лоренцевым 4-вектором и уравнение непрерывности

дхи

инвариантно. Кроме того, плотность вероятности /°(х) = ср(х) преобразуется как временная компонента сохраняющегося 4-вектора. Мы уже упоминали об этом свойстве в § 3 как о желаемом. Оно необходимо для того, чтобы интеграл
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed