Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(гЙ^ ~д^г'--т°) ^ ^ =
Матрицы yu удовлетворяют условиям антикоммутации (2.5), поэтому из эрмитовости гамильтониана следует, что(у°)+ = у° и (y‘)+ = — У1- Длинное алгебраическое доказательство [29] приводит к тому, что все такие матрицы размерности 4X4 эквивалентны с точностью до унитарного преобразования U:
f = V+^V, U+ = U~\
поэтому мы не будем делать различия между уа и уд и запишем
(р' — тс) 'ф‘г (х') = 0, (2.9)
где
';'=“v“^'
Мы потребуем, чтобы преобразование между г): и if' было линейным, так как и уравнение Дирака, и преобразование Лоренца для координат (2.1) являются линейными. Введем это преобразование в следующем виде:
гр' (хг) = гр' (ах) = S (а) гр (*) = 5 (а) 41 (а~ 1х'), (2.10)
где S(a)—матрица размерности 4X4, действующая на четырехкомпонентный вектор ^(х). Она зависит от относительных скоростей и пространственных ориентаций систем О и О'. Матрица S должна иметь обратную матрицу, так чтобы наблюдатель О, зная функцию ip'(V)> которую наблюдатель О'использует для описания заданного физического состояния, мог построить свою волновую функцию ip(x):
гр(х) = 5-1 (а) г)/ (х') = 5_1 (а) гр' (ах). (2.11)
Столь же правильно будет, воспользовавшись (2.10), представить гр(х) в виде
гр (х) = 5 (а-1) гр' (ах).
Отсюда следует равенство
5 (а-1) = 5”' (а).
28
ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 11 Д. 2
Главная задача — найти 5. Матрица S должна удовлетворять равенствам (2.10) и (2.11). Если такая матрица 5 существует, наблюдатель О' по заданному значению ф(х) сможет найти ty'(x'), воспользовавшись (2.10).
Равенство (2.11) позволяет наблюдателю О' переписать для функции г|/(х') уравнение Дирака (2.7), относящееся к наблюдателю О. Затем О' может проверить, удовлетворяет ли ip'U') его собственному уравнению (2.9). После умножения слева на 5(a) он получит
[ihS (a) v^S-1 (а) — mc"J ф' (х') = 0.
Используя (2.1), можно записать
д dx'v д
~д^~~ ~з^г ~д7ч ~ 77*'
Следовательно, уравнение в «штрихованных» координатах имеет вид
|^7*S (a) y^S-1 (а) а^ -mcj г|/ (х') = 0.
Это уравнение имеет инвариантную форму, т. е. совпадает с (2.9), если можно найти матрицу S, обладающую следующим свойством:
S (a) v^S-1 (a) au = yv.
или, что то же самое,
= 5-1 (a) yvS (а). (2.12)
Уравнение (2.12) есть основное соотношение, определяющее S. Если мы покажем, что уравнение (2.12) имеет решение, и найдем это решение, ковариантность уравнения Дирака будет доказана. По существующей терминологии волновую функцию, преобразующуюся согласно (2.10) и (2.12), называют четырехмерным лоренцевым спинором1). Мы подчеркиваем, что 5 будет иметь новые свойства, не описываемые обычным тензорным исчислением, поскольку можно ожидать, что билинейные формы, которые можно составить из гр, такие, например, как ток вероятности (1.20), окажутся 4-векторами.
Сначала мы построим 5 для инфинитезимального собственного преобразования Лоренца
<==^ + Лй\1> ячц = ?чц + Aav>\ (2.13а)
где
= —(2.136)
') Или биспинором. (Прим. перев.)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОВАРИАНТНОСТИ
29
Последнее равенство следует из условия (2.3) для интервала собственного времени. Каждый из шести отличных от нуля независимых матричных элементов матрицы Дш генерирует инфини-тезимальное преобразование Лоренца; например, элемент
Дш01 = Av/c
отвечает переходу к системе координат, движущейся со скоростью Ли вдоль оси х, а
Аса' = — Дсо12 = Дф
отвечает повороту на угол Дф вокруг оси г, и т. д.
Разлагая S по степеням Дшп' и сохраняя только линейные по инфинитезимальным генераторам члены, получаем
S = 1—^схдуДсо(П' и S~' — 1 + -j- Ac/V, (2.14) где согласно (2.136)
<V '
Каждый из шести коэффициентов auV есть матрица той же размерности 4X4, что и оператор S и единичная матрица 1. Подставляя (2.13) и (2.14) в (2.12) и удерживая только члены первого порядка по Дш^, находим
д<о^ = — ± (Дсо)ае (Yvoap — aapYv).
Отсюда, учитывая антисимметрию генераторов Дш^, получаем
21 - Фа) = [Yv, оаВ]. (2.15)
Теперь задача об установлении ковариантности уравнения Дирака относительно собственных преобразований Лоренца сведена к нахождению шести матриц оаз, удовлетворяющих условию (2.15). Самое простое предположение относительно стар со-
стоит в том, что они являются антисимметризованными произведениями двух матриц. Используя (2.5), мы находим, что
[Yu, Yv] (2.16)
и есть искомая матрица. Согласно (2.14) матрица 5 для инфи-нитезимального преобразования имеет вид
