Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве модели пространства-времени в общей теории относительности используется многообразие, оснащенное метрическим тензором. Как мы скоро увидим, принять такую точку зрения нас заставляет наблюдаемое нарушение постулата свободных частиц. При наличии гравитационных полей инер-циальные системы отсчета существуют только в бесконечно малых областях пространства-времени. Вот почему мы вынуждены использовать весь аппарат многообразий!
ЗАДАЧИ
Рис. 26.11
26.1. (20) Цилиндр можно представить в виде полосы 0 ^ X ^ Ib плоскости (х, у) при условии, что для всех у точки (0, у) и (1, у) считаются одной и той же' точкой. Какие из приведенных ниже векторных полей непрерывны в цилиндре:
а) 5?
6>f' ду
¦ д
в) sin 2тгх—, ду
ч э д „ Г) yYx1
26.2. (12) Тор можно представить в виде части плоскости 0 ^ X, у ^ 1 при условии, что точки, лежащие на противоположных сторонах этого квадрата, отождествляются (рис. 26.11). Непрерывно ли на торе векторное поле
у— 7 У дХ
26.3. (20) Сколько координатных карт потребуется, чтобы покрыть тор таким образом, чтобы каждая точка тора являлась внутренней точкой хотя бы одной координатной карты? 26. Многообразия 211
26.4. (28) Покажите, что в случае векторного пространства определения касательного вектора, основанные на представлении о многообразии (разд. 17) и на представлении о векторном пространстве (разд. 12), согласуются.
26.5. (30) Рассмотрите множество всех окружностей максимально большого радиуса на сфере. Покажите, что это множество является многообразием (оно называется действительным проективным двумерным пространством, RP2), и найдите для него удобное представление.
26.6. (28) Покажите, что в пространстве поворотов (см. последний пример этого раздела) любая плоскость, проходящая через начало координат, вырезает подмножество, которое представляет рассмотренное выше многообразие.
26.7. (38) Прочитайте пример, приведенный в книге [30, с. 2] и проанализируйте его. См. также Аш. J. Phys. 47, 379 (1979). III. Гравитация
Теперь мы располагаем набором математических «инструментов», необходимых для изложения теории тяготения, совместимой со специальной теорией относительности. Но не будем торопиться. Прежде чем приступить к такой сложной проблеме, как гравитация, немного попрактикуемся в использовании этих инструментов для решения других задач, которые понадобятся нам в дальнейшем. Как уже говорилось в разд. 19, наша математическая модель частицы — это высокочастотный вол-Полуклассические модели новой пакет. Такая модель называется полуклассической, ибо применяемый в ней способ описания лежит где-то посередине между методами классической и квантовой механики. Доказательство же того, что поведение составных систем, построенных из множества отдельных частиц (например, таких систем как Земля), следует тем же самым правилам, выходит далеко за пределы наших возможностей и фактически до сих пор находится в стадии разработки.
Изучение волновых пакетов приведет нас к конкретной реализации идеи о встроенных часах, которая в гл. I рассматривалась как некоторое первичное понятие. Кроме того, мы построим модель, воплощающую в себе представление о лоренц-инвариантности. В результате окажется, что такое простое явление, как распространение волн на глубокой воде, имеет непосредственное отношение к релятивистской симметрии.
Шаг за шагом мы наконец доберемся до гравитации и прежде всего займемся однородными полями тяготения. В итоге выяснится, что специальной теорией относительности по-прежнему можно пользоваться даже в присутствии таких по-Свободные частицы лей, изменив определение свободной частицы. Теперь под свободной частицей нужно понимать частицу, на которую не действуют никакие силы, помимо, возможно, силы тяготения. Так как в малых областях все гладкие гравитационные поля выглядят однородными, такое расширение сферы применимости тео- 27. Распространение волновых пакетов
213
рии означает, что локально геометрию пространства-времени можно приближенно считать геометрией специальной теории относительности, т. е. геометрией Минковского. Ясно, что такое рассмотрение без труда можно распространить на неоднородные поля тяготения — достаточно лишь предположить, что метрический тензор не остается постоянным, а является функцией положения.
В конце главы мы обсудим несколько простых приложений теории тяготения. Сначала мы разработаем некоторые дополнительные методы, необходимые для изучения распространения волновых пакетов в неоднородных полях. Затем с их помощью покажем, что используемая в ОТО модель пространства-времени в окрестности массивного тела описывает знакомые нам гравитационные эффекты. Мы кратко остановимся на представлении о кривизне пространства-времени и на уравнениях Эйнштейна, однако их глубокий количественный анализ выходит за рамки этой книги.
27. Распространение волновых пакетов
Модель, с помощью которой мы будем описывать динамику частиц, основывается на представлении о волновом пакете. Чтобы получить простой и удобный способ описания важнейшей характеристики движения волновых пакетов, их групповой скорости1' или скорости распространения энергии, необходимо уделить внимание геометрическому смыслу этой величины. Проведенное в разд. 19 обсуждение страдает определенным недостатком, ибо координата времени в нем играет выделенную роль. B этом и в двух следующих разделах мы ограничимся изучением прямолинейного движения волновых пакетов, распространяющихся в однородных средах, где однородность следует понимать в 4-мерном смысле. B общем случае движение будет рассмотрено в разд. 30.
