Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Наиболее важное понятие, которое мы теряем при переходе Векторы в различных точках от линейного пространства к многообразию, — это понятие параллельности на расстоянии. Даже в случае многообразия с метрикой нельзя сравнивать направления векторов в двух различных точках. Например, на рис. 26.6 векторное поле выглядит так, как будто оно постоянно по направлению, тогда как про рис. 26.5 этого сказать нельзя. Таким образом, в случае многообразия не существует понятия постоянного векторного поля.
Другое важное свойство многообразия состоит в том, что Может потребоваться несколько мы, вообще говоря, не можем покрыть все многообразие од- 101Pt ной координатной картой. Здесь могут возникнуть трудности, аналогичные тем, с которыми мы встретились в рассмотрен- 208
Гл. II. Геометрия
Привал
Многообразие Рис. 26.7
Касательный вектор
Касательная плоскость
[Это обстоятельство будет обсуждаться далее и использоваться в разд. 38, когда мы перейдем к рассмотрению топологии 3-сферы.]
ном примере с полярными координатами. Когда мы имеем дело с многообразиями, такие недостатки, как правило, устранить нельзя. Но они вносят не больше осложнений, чем полярные координаты. Математики формально справляются с названными трудностями, используя несколько различных карт, заданных таким образом, чтобы каждая точка многообразия была внутренней точкой по крайней мере одной карты. Мы же сможем легко обходить эти трудности, руководствуясь здравым смыслом.
Пространство поворотов
[Важно понять, что повороты являются линейными преобразованиями и, следовательно, могут быть представлены матрицами 3 X 3. У любой такой матрицы имеется по крайней мере один действительный собственный вектор, который определяет ось вращения.]
Пример 8
Множество всех возможных поворотов твердого тела в трехмерном пространстве может служить важным примером многообразия. Карты для этого многообразия можно отыскать следующим образом. Любой поворот оставляет фиксированной ось вращения. С точки зрения геометрии это утверждение не очевидно, но его можно доказать алгебраически. Проведем такое доказательство. Чтобы задать поворот, прежде всего найдем соответствующую ось. Затем найдем величину поворота вокруг оси. Для этого нужно договориться о том, какой знак приписывать каждому повороту. Будем пользоваться правилом правой руки, которое поясняется на рис. 26.8. Поворот представляется вектором, направленным вдоль оси поворота; длина вектора равна углу поворота (с эг), а направление поворота определяется с помощью правила правой руки. Наглядный пример поворота вместе с соответствующим вектором поворота изображен на рис. 26.9. Векторы поворота являются элементами (R3 и, следовательно, могут использоваться для прстроения карт. 26. Многообразия
209
Угол поворота
Направление вектора поворота совпадает с направлением большого пальца
Пальцы указывают направление поворота
Ось вращения
Рис. 26.8
Пример, показывающий, каким образом поворот может быть представлен с помощью, вектора.
Первая карта отображает все повороты на углы меньше ж в шар
X2+ у2 +Z2 < TT2. (26.19)
Эта карта содержит все повороты, кроме поворотов, которые представляются векторами с длиной ж. Назовем эти повороты перевод чтами. Поведение многообразия вблизи точек переворотов несколько более сложно. Различные точки на поверхности X2 + у2 + Z2 = ж2 не обязательно соответствуют разным поворотам. Диаметрально противоположные точки представляют один и тот же поворот. Чтобы найти карту, изображающую некоторый переворот F, мы должны взять некоторую открытую окрестность точки F (рис. 26.10). Точки, принадлежащие этой окрестности и лежащие вне поверхности (26.19), соответствуют поворотам на углы ж + а. Такие повороты эквивалентны поворотам на углы 2jt — а в противоположном направлении. Повороты на углы 2ж — а изображаются точками, которые лежат внутри поверхности (26.19) с противоположной стороны. Таким образом, наша окрестность представляет собой открытое множество, каждая точка внутри нее представляет только один поворот, и ни один поворот не появляется в ней больше одного раза. Следовательно, это карта.
Такую карту можно построить для любого переворота. Следовательно, множество всех поворотов в трехмерном пространстве предствляет собой трехмерное многообразие. При работе с ним удобнее использовать только первую карту, рас-
Рис. 26.9
Поворот, который представляется вектором (2z/3\f3)l(d/dx) + + 0/ду) + (д/дг)).
Перевороты
Открытая область, со&ерэнхщцхл F
Рис. 26.10.
Пространство векторов поворотов и открытая карта, включающая переворот F. Представлен случай двух измерений.
14-649 210
Гл. II. Геометрия
ширив ее за поверхность
Xs+ у2 + Z2 = TT2, (26.20)
чтобы покрыть точки переворотов. При этом необходимо помнить, что некоторые повороты будут представлены двукратно.
Многообразия в общей теории относительности
[Только после того как вы немного поработаете с касательными пространствами, они станут для вас привычными и естественными. Разд. 27 и 28 дают BaM такую возможность.]
