Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Наше определение касательного вектора как локальной линейной аппроксимации кривой было сформулировано безотносительно к какой-либо линейной системе координат. Линей-Касательные векторы ность пространства касательных векторов была обусловлена процедурой предельного перехода, используемой для их определения. В бесконечно малой области любое гладкое преобра- 26. Многообразия
205
зование является линейным. Поэтому в различных системах координат мы получим различные представления для любого касательного вектора, но все они будут представлениями одного и того же геометрического объекта.
Мы можем убедиться путем вычислений в явном виде, что линейная структура касательного пространства сохраняется при произвольных криволинейных преобразованиях координат. Предположим, что в некоторой системе координат (jc1 , X2.....х"), которую мы будем сокращено обозначать х, имеется кривая 7. Кривая задается отображением 7 •
ух: і Ar(S).
(26.9)
Касательный вектор этой кривой в выбранной системе координат имеет вид
dX» д
Ух:
ds дх»
(26.10)
У U =
ds
(26.13)
Это выражение можно упростить, если воспользоваться цепным правилом для частных производных; тогда получаем
ЭК" dX" д
УУ =
дх" ds ду»
Результат показывает, что компоненты касательного вектора в одной системе координат представляют собой линейные функции компонент в любой другой системе. Числа д Y11Zdx" образуют матрицу я х п. Нелинейное преобразование Д*) линеаризуется дифференцированием.
Так как компоненты связаны линейными уравнениями, линейная структура пространства касательных векторов полно-
Локальиое рассмотрение линейной структуры
[Здесь под X понимается п функций одной переменной.]
Рассмотрим вторую систему координат у, которые связаны с координатами х с помощью я заданных функций п переменных
У =Y(x). (26.11)
Кривая 7 в новой системе координат задается отображением
у,: S ь» К[ЛГ(і)]; (26.12)
соответствующий касательный вектор может быть представлен в виде
(26.14) 206
Гл. II. Геометрия
стью ковариантна относительно этих преобразований. Две кривые, которые имеют одинаковые касательные в одной системе координат, имеют одинаковые касательные в любой другой системе. Результаты операций сложения и умножения на число, выполненных в каждой из двух систем координат, согласуются.
Можно найти определения касательных векторов, которые явным образом ковариантны. В таких определениях вообще не используется понятие координат. При этом исключается необходимость проверки должной ковариантности определения. Такие безкоординатные определения выглядят несколько абстрактными и недостаточно обоснованными с точки зрения физиков. В одном из них вектор определяется как класс эквивалентности параметризованных кривых, соприкасающихся в заданной точке. В другом вектор определяется как линейный дифференциальный оператор, который действует на функции. Несмотря на то что такие определения весьма изящны и эффективны, мне кажется, что начинать с таких определений — не самый лучший способ. Действительно, все определения эквивалентны, поэтому не имеет значения, что мы выбрали не самый изящный способ.
Рис. 26.5
Векторное поле и соответствующие интегральные кривые. Отмечена точка, соответствующая значениям параметров, равным единице.
Рис. 26.6
Те же самые векторы, интегральные кривые и оси, что и на рис. 26.5. Почему в этом случае вдоль кривой укладывается пять векторов?
Пример 6
Векторное поле
имеет интегральные кривые
ух: s^la cos s, a sin s),
(26.15)
(26.16)
которые изображены на рис. 26.5. Их можно записать также в полярных координатах; тогда интегральные кривые имеют вид
у». S ^ [A(s), Є(і)] = (a, s),
а векторное поле дается выражением
д
V =
дв'
(26.17)
(26.18)
Оно изображено на рис. 26.6. Мы используем полярные координаты, без всякого предубеждения изображая их под прямым углом, как любые другие координаты. Помните о ковариант- 26. Многообразия
207
ности многообразий! Мы не должны выделять какую-либо систему координат.
Ковариантность нашего представления касательного про- Ковариантность странства проявляется и в наших графических построениях. Мы изображали касательные пространства непосредственно на карте многообразия. Это не совсем верно. Касательные векторы получаются в результате предельного перехода и лежат в своем собственном векторном пространстве. Изображение их на карте многообразия действительно дает нам правильное представление об их линейной структуре. Однако совпадение конца вектора с какой-нибудь точкой многообразия не имеет никакого значения. Такое совпадение важно только в том случае, если мы умножим вектор на є, а затем устремим є к нулю.
Пример 7
Посмотрите снова на рис. 26.5 и 26.6. На первом рисунке конец вектора а совпадает с точкой Qc, у) = (1,1), а второй — с совершенно другой точкой (г, в) = (1,1).
Представление касательного пространства непосредственно на карте многообразия — весьма полезный метод, и необходимо научиться им пользоваться. Идея метода поясняется на рис. 26.7. Вложенные поверхности могут служить примерами многообразий, для которых касательные пространства на самом деле являются касательными плоскостями. При использовании описанного выше представления мы проецируем касательные плоскости обратно на многообразие. Понятно, что эта операция неоднозначна.
