Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1
Самым известным примером многообразия служит поверхность сферы. В окрестности любой точки ее можно аппроксимировать плоскостью, но в целом она существенно отличается от плоскости. Следует почаще обращаться к этому примеру при рассмотрении конкретных свойств многообразий.
[Бегло просмотрев разд. 38, вы увидите, почему нам необходимы эти понятия и как мы собираемся их использовать.] 200
Гл. II. Геометрия
Многообразия Многообразие отличается от векторного пространства во многих отношениях. Оно не обладает линейной структурой векторного пространства. В нем нет нулевого элемента, не определены также операции сложения и умножения на число. Не существует способа определения понятия параллельности на расстоянии. Отсутствует представление о постоянном векторном поле. Кроме того, не всегда возможно ввести единую систему координат, гладко покрывающую все многообразие. Тем не менее все развитые здесь геометрические идеи без всякого изменения применимы к многообразиям. Последний раз мы использовали предположение о векторной структуре пространства-времени в разд. 12 при определении ускорения. Именно с расчетом иа будущее мы так тщательно определили там касательный вектор.
Многообразие представляет собой подходящую модель для общерелятивистского описания Вселенной. Почему в таком случае авторы очень многих книг поверхностно комментируют это понятие, дедая вид, что оно совершенно очевидно и не нуждается в обсуждении? Причина состоит в том, что большинство вводных курсов носит чисто описательный характер, и авторы считают возможным ограничиться достаточно беглым рассмотрением понятия многообразия (как впрочем и любого другого). Мы же собираемся проводить конкретные вычисления и не можем довольствоваться неопределенными и непроверенными представлениями об объекте исследования. Существует и другая причина того, почему даже во вводных математических курсах не рассматривается понятие многообразия. Она связана с тем, что последовательное изложение соответствующего раздела математики носит достаточно абстрактный и специальный характер и вместе с тем мало что дает с точки зрения умения проводить конкретные вычисления на многообразиях. В этой книге мы избираем неформальный подход. Мы исходим из допущения, что многообразия необходимы здесь и во многих других областях физики. Каждый серьезный физик должен иметь о них представление. Однако мы не будем пытаться дать строгое определение многообразия. Такой подход мало пригоден на первом этапе изучения многообразий; не слишком много пользы принесут читателю и замысловатые определения. Будем вместо этого опираться на замечательную способность человеческого сознания улавливать характерное при рассмотрении нескольких примеров. Усвоив материал этой книги, можно приступить к тщательному изучению основных идей исчисления на многообразиях. Приведен- 26. Многообразия
201
ные в книге примеры послужат основой для усвоения абстрактных понятий этой области математики.
Для читателей, обладающих достаточной математической подготовкой, которые не могут обойтись без формальных определений, скажем, что все многообразия, играющие важную роль в космологии, можно рассматривать как подпространства некоторых векторных пространств. В таких случаях касательные пространства в действительности представляют собой касательные гиперплоскости, и все определения, сформулированные для случая линейного пространства, могут использоваться на законных основаниях. Мы действительно будем использовать такое погружение для определения некоторых из наших многообразий.
При переходе от евклидового метрического пространства к векторному пространству теряется нечто в геометрической структуре пространства: понятия длины, угла и перпендикулярности перестают иметь смысл. Это было отражено в том представлении, которое мы использовали для таких пространств. Мы перешли от представлений, ковариантных относительно ортогональных преобразований, к представлениям, ковариантным относительно произвольных линейных преобразований.
При переходе к многообразиям теряется линейная структура пространства. Теперь наши определения должны быть кова-риантны относительно произвольных криволинейных преобразований координат. Действительно, на протяжении всего обсуждения геометрии мы придавали нашим понятиям форму, которая обладала такой ковариантностью. Благодаря этому теперь мы можем описывать многообразия, не производя больших изменений в формализме, а только учитывая перечисленные выше различия. На многообразиях больше не существует выделенного класса линейных координат, но мы и не пользовались такими координатами где бы то ни было при построении геометрии.
Возникают два вопроса: «Как точно определить многообразие?» и «Как мы описываем многообразие?». На оба этих вопроса можно дать такой ответ. Многообразия представляют собой множества, которые могут быть заданы следующим образом. Части многообразий могут быть покрыты картами. Картой называется взаимнооднозначное отображение некоторой части многообразия в IR". Точнее говоря, карта отображает подмножество многообразия на открытое множество в IR" (рис. 26.1). Многообразие может быть представлено набором
