Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
13*196
Гл. II. Геометрия
Инфинитезимальные преобразования
\
ч
та / :
7/
Iii
\
\
и — значение параметра вдоль кривой, которое соответствует точке р:
у(и)=р. (25.22)
Тогда определим преобразование следующим образом:
Фи--P h^ У(и + w). (25.23)
При таком преобразовании каждая точка р перемещается вдоль соответствующей ей интегральной кривой и занимает положение, соответствующее новому значению параметра, изменившемуся на величину w. Это семейство преобразований называется потоком векторного поля.
Пример
Для векторного ПОЛЯ
(25.24)
поток Ф^, соответствует повороту на угол Vf в плоскости (х, у).
u = X---у —
ду ' дх
Векторное поле определяет инфинитезимальное преобразование.
Рис. 25.6
Чтобы рисунок не выглядел слишком сложным, все векторы уменьшены в два раза.
Пример
Векторное поле
д , д dt дх
(25.25)
определяет инфинитезимальное преобразование Лоренца (je,/) і-* (;tch«|/ + fsh«|/, xsh»|/ + ісЬф).
(рис. 25.6 и 25.7).
(25.26)
Симметрия Важное свойство пространства-времени — его симметрия.
Мы описываем симметрию, задавая преобразования, которые [Подробнее о симметрии см. оставляют пространство-время неизменным. Удобнее и проще книгу [39].] задавать бесконечно малые преобразования, т. е. векторные
поля.
Гладкое ковекторное поле определяется аналогичным образом; его можно использовать, например, для описания фазы волнового пакета, распространяющегося в пространстве-25. Векторные поля
197
времени. Геометрия пространства-времени описывается гладким тензорным полем, задающим метрику.
Связь между касательными векторами и обыкновенными дифференциальными уравнениями определяется смыслом касательных векторов как локальной линейной аппроксимации кривых. Касательный вектор является также оператором, кото- Дифференциальные операторы рый действует на функции; в этом качестве касательные векторы имеют отношение к уравнениям в частных производных. Все сказанное оказывается полезным при изучении распространения диспергирующих волн.
Пример
Предположим, что функция Дх, у) удовлетворяет уравнению [Это продолжение примера 2 из
разд. 17.]
2yf+f= 0 (25.27)
дХ ду
с граничным условием
Дх, 0) = е"*2. (25.28)
Достаточно ли этого для определения функции / ? Каким образом мы вычисляем ее?
С геометрической точки зрения уравнение (25.27) означает, что функция / постоянна вдоль направления
- д , д
Следовательно, она постоянна на интегральных кривых этого
векторного поля. Такие интегральные кривые называются ха- Характеристики198
Гл. II. Геометрия
рактеристиками. В нашем случае интегральные кривые представляют собой параболы
уа'. U (jc, у) = (и2 + а, и), (25.29)
где а — параметр, которым обозначаются кривые.
Значение функции / в произвольной точке (дг0, _у0) находим непосредственно (рис. 25.8). Разрешим (25.29) относительно и и а:
и = Уо, (25.30)
а = х0~у§. (25.31)
Кривая уа пересекает ось х в точке х = а. Значение функции / в этой точке равно ее значению в точке (дг0, _У0), поэтому
/(JCo, Уо) = е-"'-"1*. (25.32)
ЗАДАЧИ
Рис. 25.8
Кривая, на которой функция / постоянна.
25.1. (16) Опишите преобразование, которое порождается векторным полем
д
yTx-
25.2. (16) Найдите векторное поле, которое задает однородное растяжение.
25.3. (14) Найдите окружности, которые, если их рассматривать как множество точек, инвариантны относительно инфини-тезимальных поворотов, задаваемых векторным полем
25.4. (19) Покажите, что гипербола
/2 - X2 = 1
инвариантна относительно преобразований Лоренца
д , д xT, + tTx-
25.5. (38) Если в вашем распоряжении имеется программируемый микрокалькулятор, найдите несколько численных решений уравнения Ван-дер-Поля:
25.6. (33) Какая специфическая проблема возникает при реше-26. Многообразия
199
нии уравнения в частных производных
дх ду
с граничным условием, заданным на оси х? 26. Многообразия
Он купил большую карту,
на которой было изображено море
без каких-либо признаков берегов,
и моряки ликовали, что все хорошо ее понимают.
«Что хорошего в картах Меркатора
с их Северным полюсом и экватором,
тропиками, зонами и меридианами,
— восклицала команда, —
Это всего лишь условные знаки!
На других картах только мешают
все эти острова и мысы!
Мы должны торжественно поблагодарить
нашего храброго капитана — он купил нам
самую лучшую, совершенную,
не ограниченную, абсолютную карту!»
Льюис Кэрролл До сих пор мы относились к пространству-времени как к линейному пространству. Однако наши определения допускали использование криволинейных координат, например полярных, и предположение, что в основе находится векторное пространство, на самом деле не использовалось. В отличие от специальной теории относительности пространства эйнштейновской общей теории относительности не являются векторными пространствами. Перейдем теперь к рассмотрению пространств более общего вида, которые выглядят как векторное пространство только в малой пространственно-временной области и совсем не похожи на векторное пространство в больших масштабах. Такие пространства, соответствующим образом определенные, называются многообразиями.