Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бёрке У. -> "Пространство-время, геометрия, космология. " -> 67

Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.

Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): pronstranstvovremyageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 139 >> Следующая


13* 196

Гл. II. Геометрия

Инфинитезимальные преобразования

\

ч

та / :

7/

Iii

\

\

и — значение параметра вдоль кривой, которое соответствует точке р:

у(и)=р. (25.22)

Тогда определим преобразование следующим образом:

Фи--P h^ У(и + w). (25.23)

При таком преобразовании каждая точка р перемещается вдоль соответствующей ей интегральной кривой и занимает положение, соответствующее новому значению параметра, изменившемуся на величину w. Это семейство преобразований называется потоком векторного поля.

Пример

Для векторного ПОЛЯ

(25.24)

поток Ф^, соответствует повороту на угол Vf в плоскости (х, у).

u = X---у —

ду ' дх

Векторное поле определяет инфинитезимальное преобразование.

Рис. 25.6

Чтобы рисунок не выглядел слишком сложным, все векторы уменьшены в два раза.

Пример

Векторное поле

д , д dt дх

(25.25)

определяет инфинитезимальное преобразование Лоренца (je,/) і-* (;tch«|/ + fsh«|/, xsh»|/ + ісЬф).

(рис. 25.6 и 25.7).

(25.26)

Симметрия Важное свойство пространства-времени — его симметрия.

Мы описываем симметрию, задавая преобразования, которые [Подробнее о симметрии см. оставляют пространство-время неизменным. Удобнее и проще книгу [39].] задавать бесконечно малые преобразования, т. е. векторные

поля.

Гладкое ковекторное поле определяется аналогичным образом; его можно использовать, например, для описания фазы волнового пакета, распространяющегося в пространстве- 25. Векторные поля

197

времени. Геометрия пространства-времени описывается гладким тензорным полем, задающим метрику.

Связь между касательными векторами и обыкновенными дифференциальными уравнениями определяется смыслом касательных векторов как локальной линейной аппроксимации кривых. Касательный вектор является также оператором, кото- Дифференциальные операторы рый действует на функции; в этом качестве касательные векторы имеют отношение к уравнениям в частных производных. Все сказанное оказывается полезным при изучении распространения диспергирующих волн.

Пример

Предположим, что функция Дх, у) удовлетворяет уравнению [Это продолжение примера 2 из

разд. 17.]

2yf+f= 0 (25.27)

дХ ду

с граничным условием

Дх, 0) = е"*2. (25.28)

Достаточно ли этого для определения функции / ? Каким образом мы вычисляем ее?

С геометрической точки зрения уравнение (25.27) означает, что функция / постоянна вдоль направления

- д , д

Следовательно, она постоянна на интегральных кривых этого

векторного поля. Такие интегральные кривые называются ха- Характеристики 198

Гл. II. Геометрия

рактеристиками. В нашем случае интегральные кривые представляют собой параболы

уа'. U (jc, у) = (и2 + а, и), (25.29)

где а — параметр, которым обозначаются кривые.

Значение функции / в произвольной точке (дг0, _у0) находим непосредственно (рис. 25.8). Разрешим (25.29) относительно и и а:

и = Уо, (25.30)

а = х0~у§. (25.31)

Кривая уа пересекает ось х в точке х = а. Значение функции / в этой точке равно ее значению в точке (дг0, _У0), поэтому

/(JCo, Уо) = е-"'-"1*. (25.32)

ЗАДАЧИ

Рис. 25.8

Кривая, на которой функция / постоянна.

25.1. (16) Опишите преобразование, которое порождается векторным полем

д

yTx-

25.2. (16) Найдите векторное поле, которое задает однородное растяжение.

25.3. (14) Найдите окружности, которые, если их рассматривать как множество точек, инвариантны относительно инфини-тезимальных поворотов, задаваемых векторным полем

25.4. (19) Покажите, что гипербола

/2 - X2 = 1

инвариантна относительно преобразований Лоренца

д , д xT, + tTx-

25.5. (38) Если в вашем распоряжении имеется программируемый микрокалькулятор, найдите несколько численных решений уравнения Ван-дер-Поля:

25.6. (33) Какая специфическая проблема возникает при реше- 26. Многообразия

199

нии уравнения в частных производных

дх ду

с граничным условием, заданным на оси х? 26. Многообразия

Он купил большую карту,

на которой было изображено море

без каких-либо признаков берегов,

и моряки ликовали, что все хорошо ее понимают.

«Что хорошего в картах Меркатора

с их Северным полюсом и экватором,

тропиками, зонами и меридианами,

— восклицала команда, —

Это всего лишь условные знаки!

На других картах только мешают

все эти острова и мысы!

Мы должны торжественно поблагодарить

нашего храброго капитана — он купил нам

самую лучшую, совершенную,

не ограниченную, абсолютную карту!»

Льюис Кэрролл До сих пор мы относились к пространству-времени как к линейному пространству. Однако наши определения допускали использование криволинейных координат, например полярных, и предположение, что в основе находится векторное пространство, на самом деле не использовалось. В отличие от специальной теории относительности пространства эйнштейновской общей теории относительности не являются векторными пространствами. Перейдем теперь к рассмотрению пространств более общего вида, которые выглядят как векторное пространство только в малой пространственно-временной области и совсем не похожи на векторное пространство в больших масштабах. Такие пространства, соответствующим образом определенные, называются многообразиями.
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 139 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed