Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
X
Li
\
hV
/
Рис. 25.1
Векторное поле
[Мы откладываем подробное обсуждение криволинейных координат до разд. 26.]
Пример 1
Примером гладкого векторного поля на плоскости может служить поле
хд уд
(25Л)
оно изображено на рис. 25.1.
Если задано некоторое векторное поле, то можно попытаться Интегральные кривые отыскать семейство кривых, для которых векторное поле в каждой точке дает локальную линейную аппроксимацию. Отдельная параметризованная кривая, касательный вектор к которой в каждой точке совпадает с вектором, принадлежащим векторному полю, называется интегральной кривой векторного поля. 192
Гл. II. Геометрия
[Продолжение примера 1. Здесь а — параметр, различающий кривые. Мы выбираем а > 0.]
[По поводу этого равенства см. разд. 17 и стр. 138.]
Семейство кривых
В О
уа: IR -> IR2; в (a cos-^, a sin-^)
(25.2)
состоит из интегральных кривых определенного выше векторного поля v. Покажем это. Касательный вектор уа к кривой уа в точке в имеет внд
в д
в д
Уа — — т Sin X— + «COS -Z-. 2 2дх 2 2ду
Если точка (х, у) лежит на кривой уа, то X2 + у* = а2,
Л х
COS в = -, а
(25.3)
(25.4)
поэтому
sine = -,
Уа 2дх 2ду'
(25.5)
Полученный результат показывает, что кривые уа представляют собой интегральные кривые векторного поля v. Они изображены на рис. 25.2.
Как найти интегральные кривые? Возьмем произвольную кривую
у: S н+ ----].
(25.6) 25. Векторные поля
193
Соответствующий касательный вектор имеет вид ил ил MJ 1'_>
(25.7)
Чтобы вектор (25.7) соответствовал заданному векторному полю
(25.8)
должны выполняться равенства
ал ~, і \ — = xf{x,y----),
Система обыкновенных дифференциальных уравнений
(25.9)
где каждая из компонент Vх, Vу, . . . является гладкой функцией координат. Мы видим, что нахождение интегральных кривых векторного поля эквивалентно нахождению решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Именно поэтому их называют интегральными кривыми. С таким же успехом можно свести рассмотрение системы обыкновенных дифференциальных уравнений к исследованию соответствующего векторного поля, что оказалось весьма продуктивным подходом к решению некоторых задач.
Пример 2
Простой гармонический осциллятор описывается уравнением Гармонический осциллятор
X+(OiX = 0.
(25.10)
Если рассматривать скорость как независимую переменную
у = х.
(25.11)
Решение этой системы эквивалентно рассмотрению на фазовой
13-649 194
Гл. II. Геометрия
Рис. 25.3
Интегральные кривые, соответствующие значению OJ = sin 15° = = 0,26.
Нелинейный осциллятор
V
д , о
V = у---ь)2х—.
ду
плоскости векторного поля J
дх
Интегральные кривые поля v имеют вид
у a: t (a cos wt, —aw sin wt). Эти кривые изображены на рис. 25.3.
(25.13)
(25.14)
Пример 3
К числу чаще всего рассматриваемых нелинейных осцилляторов относится осциллятор Ван-дер-Поля, который описывается уравнением
Это уравнение задает векторное поле
V= {ky-Hl 1-ф±-х±
(25.15)
(25.16)
Векторное поле (25.16) изображено на рис. 25.4; несколько интегральных кривых, соответствующих значениям параметров к = 0,231, d = 0,465, ц = 0,769, приведено на рис. 25.5. Чтобы не загромождать рисунок, все векторы уменьшены в пять раз.
"V
Рис. 25.4
Векторное поле Ван-дер-Поля.
Рис. 25.5
Интегральные кривые поля Ван-дер-Поля. 25. Векторные поля
195
Пример 4
В механике Гамильтона рассматривается движение системы в 2л-мерном фазовом пространстве с координатами
(q\ q2 , . . . ,qn, ри P2.....Pn) = (?, Р)- (25.17)
Любая гамильтонова система описывается функцией Hiq, р), заданной в фазовом пространстве. Динамика системы определяется векторным полем
дН д дН д dp^dq» dq?dp»
(25.18)
что эквивалентно системе обычных дифференциальных уравнений
dgм = дН
dt dp ц'
(25.19)
dp» _ дН dt d<f'
Фазовое пространство (q, р) лишено метрики. Оно обладает своей собственной специфической геометрической структурой, которая порождается тензорным полем
Механика Гамильтона
[Здесь мы не придерживаемся общепринятой практики и не пишем координатные индексы сверху, а используем достаточно понятную сокращенную форму записи.]
[Правило суммирования!]
[Как dpи, так и dq* представляют собой ковекторы. Мы не придерживаемся традиционного расположения индексов.]
Cl = dp^ ® dcf - dq" ® dp
(25.20)
Пример 5
Не вдаваясь в детали, отметим как интересный факт, что уравнения Максвелла имеют ту же самую форму
дЕ dt
= VXB- AnJ.
Электромагнетизм
(25.21)
Это уравнения в частных производных, и соответствующее векторное поле задано в бесконечномерном пространстве.
Предположи .. что мы нашли полное семейство интеграль- Преобразования ных кривых, пр..чем через каждую точку проходит только одна кривая. Используя эти кривые, можно задать однопараметри-
ческое семейство преобразований пространства Ф^. Будем дей- [Преобразования были рассмот-ствовать следующим образом. Возьмем точку р и найдем ин- Рены в Разд- 4 и тегральную кривую у, проходящую через р. Пусть
