Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
w • и - (шд<&*) • (24.14)
В силу свойства линейности можно поменять местами операции суммирования и свертывания; в результате получаем
]. (24.15)
В рассмотренном выше примере 2 было показано, что величина в квадратных скобках обращается в нуль, если только индексы ц и а не совпадают. Это сводит двойную сумму к одной сумме «по диагонали»
W V = (OtVt + щі/>х + • • ¦ +
+ WjcJiit+ (OxV* + - ¦ •+ (24.16)
*
Полученную диагональную сумму можно записать в виде
WV = ОдіЛ (24.17)
Члены типа dx*1 • (д/дх*) появляются довольно часто, поэтому для простоты мы определим особый набор чисел который Дельта-символ Кронекера аналогичен единичной матрице и задается следующим образом:
.„ Cl, если U = V,
- „ (24.18)
0, если д ф V.
Величина называется дельта-символом Кронекера.
Пример
Справедливо соотношение
(Ofi8{f = wv ,
(24.19) 24. Индексные обозначения
189
в чем легко убедиться, расписав компоненту v = х этого равенства:
сох8? + со, 8*.+• • - = сох. (24.20)
Тензор принадлежащий пространству V* ® V, можно представить в виде
^ = g^x» ® dx(24.21)
Тогда отображение ^: Vx V — IR с использованием линейности можно осуществить следующим образом:
9 ¦ (а, Ь) = (g^ ® dx") ¦ =
= g^b\
Как легко показать, операцию частичного свертывания можно представить в виде
^ • a = g^dx". (24.23)
Компоненты тензорного произведения равны произведению компонент сомножителей
[Не обязательно использовать одну и ту же букву для обозначения тензора и его компонент, хотя обычно это н удобно.]
Метрический тензор
[Вот пример ситуации, когда возможно совершить указанную выше ошибку. Немые индексы у а и b должны быть различными и отличаться от ц и к.]
Частичное свертывание
[Напомним, что ¦ а — это сокращенное обозначение для выражения .0 ¦ (а, -).]
Тензорное произведение
а® Ь = a*bv
дх» дх"
(24.24)
Симметричность тензора ? = g ® dx" находит отражение в симметричности его компонент
gw = 8w (24.25)
Что можно сказать о тензоре, обратном симметричному тен- Обратный тензор зору J ? Запишем, обратный тензор в виде
«-і = O^-А. ® -A-
* 8 дх" дх
(24.26)
тогда тождество
-1^-а) =а
(24.27)
можно преобразовать к виду
g^gapa* = а" = 8
(24.28) 190
Гл. II. Геометрия
Так как это справедливо для любых в", должно иметь место равенство
= 8*. (24-29)
В случае четырех измерений уравнение (24.29) представляет собой 16 алгебраических уравнений для 16 компонент g"" тензора
S-K
Тензоры: операторы или наборы Физики-релятивисты придают слишком большое значение чисел индексным обозначениям. Вместо того чтобы дать формаль-
ное определение компонент тензора, они рассматривают снабженные индексами символы как другое определение тензора. Действительно, индексные обозначения особенно удобны, так как число и расположение индексов говорит нам, с каким типом тензора или вектора мы имеем дело. Если проводится операция свертывания, то появляются повторяющиеся индексы. Поэтому мы обычно называем g тензором, а не компонентами тензора. Недостаток классического тензорного анализа не в том, что в нем используются компоненты, а в том, что в нем не проводится различия между V" и v . Это не приводит к ошибкам, если задана метрика, но даже в таком случае отождествление векторов и ковекторов не слишком удобно.
Пример
Если рассматривать тензоры как набор чисел, то появляется искушение написать
SJf = 8Л. (24.30)
Почему это уравнение бессмысленно? Предположим, что мы хотим восстановить исходное тензорное уравнение, свертывая обе части уравнения с соответствующими базисными элементами. При суммировании по индексу ц мы получим либо
8^- = 8^, (24.31)
либо
SJf Cfct^ = SJi dx». (24.32) На нашем языке оба равенства не имеют смысла.
ЗАДАЧА
24.1. (15) Рассмотрите тождественное отображение /: V* -> V*; со со. 25. Векторные поля
191
Покажите, что это тензор и найдите его компоненты. (Используйте символ
25. Векторные поля
До сих пор мы занимались построением алгебры векторов и тензоров в некоторой фиксированной точке. Сделаем теперь следующий шаг и перейдем к рассмотрению векторных и тензорных полей. Говорят, что задано векторное поле, если каждой точке пространства-времени ставится в соответствие некоторый вектор. Аналогичным образом определяется тензорное поле. Анализ векторных и тензорных полей в пространствах общего вида значительно более сложен, чем в пространстве-времени специальной теории относительности. К счастью, нам не потребуется чересчур углубляться в эти вопросы. Нам достаточно лишь немного видоизменить интуитивное понятие векторного поля, которое вводится в курсах электромагнетизма или механики жидкости. Новое, с чем мы здесь столкнемся, заключается в установлении тесной связи между векторными полями, системами обыкновенных дифференциальных уравнений и преобразованиями пространства.
Выбор системы координат определяет в каждой точке пространства-времени набор базисных векторов. При этом гладкое векторное поле представляется набором компонент вектора, которые являются гладкими функциями координат точки.
