Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бёрке У. -> "Пространство-время, геометрия, космология. " -> 64

Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.

Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): pronstranstvovremyageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 139 >> Следующая


Произвольный тензор можно выразить через построенные в разд. 23 базисные тензоры двумя различными способами. Один из способов заключается в точном перечне всех ненулевых компонент тензора. При таком подходе метрический тензор пространства-времени Jr имел бы следующий вид:

[Традиционное изложение тензорного анализа можно найти в превосходной книге [37].]

Представления

Явное выражение

jf = -dt ® dt + dx ® dx.

(24.1)

При индексных обозначениях для представления тензора используется все множество его компонент. Если в выражении

Jf = rftfdt ® dt + TQtxdt ® dx + T)xtdx ® dt + -qxxdx ® dx,

(24.2)

символами r)tx, i}xt и rIxx обозначить компоненты тензора J', то тензор Jf мы можем записать в виде матрицы

(24.3)

Способ, основанный на перечислении всех ненулевых компонент, более удобен при работе с векторами и тензорами, у которых мало отличных от нуля компонент, и им мы будем преимущественно пользоваться. Можно было бы ограничиться этим способом, однако индексные обозначения широко распространены и в некоторых случаях более эффективны, поэтому студенты, изучающие теорию относительности, должны их знать тоже.

В индексных обозначениях вектор или тензор представляется в виде разложения по координатному базису, где верхние и нижние индексы используются для обозначения операций сум-

Таблица

Верхние и нижние индексы 186

Гл. II. Геометрия

мирования. Положение индекса указывает тип вектора или тензора. Так, касательные векторы и их тензорные произведения представляются компонентами с верхними индексами. Компоненты ковекторов и их тензорных произведений имеют нижние индексы.

Пример

Разложение касательного вектора X будет записываться в виде

x = xYr+

Xx^+ . дх

а разложение ковектора а — в виде

a = a, dt + axdx + .

(24.4)

(24.5)

Немые индексы

При записи таких сумм будем пользоваться немыми индексами. Пространственно-временные индексы будут обозначаться греческими буквами, причем часто без точного указания значений, которые пробегает индекс. Допуская некоторую вольность, будем впредь обозначать базисные ковекторы следующим образом:

the, ц = {x,y,z,t}.

Базисные векторы и ковекторы

Аналогично запишем произвольный базисный вектор в виде д/дх1'. Тогда наши разложения приобретут следующий вид:

дх"

X = V X" —

Яг*

(24.6)

для касательного вектора и

а = 2 «м dx*

(24.7)

Свободные индексы

для 1-формы. Авторы некоторых книг проявляют определенный педантизм, требуя, чтобы координаты обозначались как Xі, X2 и т. д. и суммирование осуществлялось по числовому индексу. Это не очень хороший способ, и мы предпочитаем следовать соглашению, что суммирование по немому индексу осуществляется по всему набору его значений.

Если в уравнении имеется свободной индекс, то оно должно быть справедливо при любом значении индекса. Такой индекс должен стоять у каждого члена уравнения, причем в одной и той же позиции, наверху или внизу; в противном случае нарушилось бы условие линейности для тензоров. 24. Индексные обозначения

187

Пример 1

Уравнение

означает, что

a»b" = h»v a'b1 = hu,

atbx = htx

(24.8)

(24.9) (24.10)

и т. д. для всех шестнадцати уравнений в пространстве четырех измерений. Обратите внимание, насколько компактны такие обозначения.

Пример 2

Что означает выражение

дх"

Это результат действия ковектора на вектор, следовательно, оно должно быть числом, которое зависит от того, каковы значения ц и v. Как легко проверить,

дх" ¦

дх"

-U

если P = V, если [I Ф V.

так как dx" и (д/дх") дуальны. Например,

(24.11)

(24.12) [Чтобы понять смысл тензорного уравнения, полезно выписать (24 13) нескольно его компонент.]

Наконец, в тензорных уравнениях суммирование всегда проводится по двум повторяющимся немым индексам, один из которых верхний, другой нижний. Существенное упрощение достигается, если принять, что по двум повторяющимся индексам всегда подразумевается суммирЬвание. Уравнение, в котором немой индекс появляется в каждом члене только один раз, должно быть справедливым при любом допустимом значении индекса. Если в каждом члене уравнения немой индекс появляется дважды, то по такому индексу должно быть проведено суммирование. (Если индекс появляется три или большее число раз, то это значит, что допущена ошибка.) Так как в качестве немого индекса может быть выбран любой символ, его можно изменять по нашему усмотрению при условии, что он меняется одновременно во всех членах уравнения. При вычислениях

Правило суммирования 188

Гл. II. Геометрия

иногда в уравнении появляются четыре одинаковых немых индекса. Такая распространенная ошибка возникает, когда одно суммирование подставляют в другое, не изменив надлежащим образом обозначения одного из индексов суммирования. Первое время при необходимости мы будем указывать на возможность совершения такой ошибки. Свертывание Индексные обозначения позволяют записать в компактной форме все изученные выше операции над тензорами. Свертывание 1-формы с вектором определяется следующим образом:
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 139 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed