Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
22.5. (7) Строго покажите, что тензор
симметричен.
22.6. (14) Найдите тензор, обратный метрическому тензору евклидова пространства.
22.7. (39) Придумайте графическое представление для антисимметричных тензоров в пространстве двух, трех и четырех измерений.
22.8. (13) Дайте численное представление тензора проводимости, изображенного на рис. 21.7.
22.9. (10) Используя (22.18), покажите, что тензор <f симметричен.
22.10. (16) Покажите, что вид тензора <f не меняется при поворотах базисных векторов
dx' = cos ф dx + sin ф dy, dy' = -sin ф dx + cos ф dy.
23. Пространство Минковского
Теперь мы можем воспользоваться преимуществами, которые нам дает тензорная алгебра. Наконец, можно раскрыть мате-
12-649
!W = dx ® dx + dx ® dy + dy ® dx.
dx ® dy + dy ® dx 178
Гл. II. Геометрия
Метрический тензор специальной теории относительности
[Мы не будем заменять символ введенный для хроноструктуры события, общепринятым обозначением ds2. Символ d имеет совсем другой смысл, чем тот, который ему приписывается в выражении dy2.]
Метрические фигуры
[Выражение (23.6) показывает, что вектор V является касательным К ЛИНИИ X = XgS, I = Itf, которая при ^ = 1 проходит через точку с координатами (/0,
V-]
матический смысл графических построений, которые мы проводили при изучении специальной теории относительности. Он оказывается простым. Математическая структура специальной теории относительности определяется метрическим тензором jV, имеющим вид
Jf = -dt2 + dx? = -dt ® dt + dx ® dx (23.1) или в случае четырех измерений
Jf = -dt2 + dx2 + dy2 + dz2.
(23.2)
Такой подход позволяет легко обобщить специальную теорию относительности, чтобы включить в рассмотрение гравитацию. Сейчас мы покажем, каким образом этот метрический тензор связан с нашей гиперболой, что позволит нам дать простую интерпретацию рассмотренной в разд. 13 формулы для доплеровского сдвига.
B разд. 22 было показано, что метрический тензор евклидова пространства может быть изображен единичной окружностью, т. е. множеством векторов V, которые удовлетворяют соотношению
Г(и, и) = 1. (23.3)
Аналогичное представление возможно для любого симметричного тензора. В случае метрического тензора jV мы имеем два различных семейства единичных векторов
Ж-(и, о)= + 1, (23.4)
Jf- (v, v) =-1. (23.5)
Отрицательная ветвь изображается знакомой нам гиперболой. Действительно, вектор, выходящий из начала координат и оканчивающийся в точке с координатами (t0, х0), имеет вид
и мы получаем
. 3 L д
v = to7t + xoYx'
л- (V, V) =-$ + 4.
(23.6)
(23.7)
Поэтому множество векторов, удовлетворяющих уравнению (23.5), которое задает времениподобную гиперболу, определяется уравнением
--*о= 1. (23.8)
Это и есть знакомая нам гипербола.
Метрический тензор JY осуществляет также отображение 23. Пространство Минковского
179
векторов в ковекторы. Определим ковектор а соотношением a = Jf- а. (23.9)
Тогда, если вектор а удовлетворяет уравнению (23.5), получаем а-а = -1. (23.10)
Рассмотрим вектор а + е, где є — малый вектор, квадратом которого в пределе ? — 0 можно пренебречь. Если вектор a + E также удовлетворяет уравнению (23.5), т. е.
Jf ¦ (а + е, а + є) = —1, то, используя свойство линейности, получаем
-!+Jr- {а,є) +Jr- (є,a) =-1. Тензор JV симметричен, т. е.
Ж- (а, с)= Jr- (с, а); следовательно, имеем
т. е.
•Г ¦(<!,?)= 0,
а - є = 0.
(23.11)
(23.12)
(23.13)
(23.14)
(23.15)
По построению вектор є является касательным вектором к гиперболе, и из уравнения (23.15) следует, что линии уровня ковектора а параллельны е. Более того, уравнение (23.10) показывает, что линия уровня ковектора а, соответствующая его значению, равному — 1, проходит через конец вектора а. Обратите внимание на знак минус! Отображение вектора а в ковектор, осуществляемое тензором .А'\ показано на рис. 23.1. Результат действия тензора JV на вектор, имеющий то же направление, но другую длину, можно найти с помощью операции умножения на число.
Пример
Jr-jr-dt.
(23.16)
Рис. 23.1
Пространственноподобные векторы никогда не пересекают времениподобную гиперболу. Они должны пересекать про-странственноподобную гиперболу
Xb
І -'O2=I-
(23.17)
12» 180
Гл. II. Геометрия
Процедура отображения векторов в ковекторы с помощью про-странственноподобной гиперболы аналогична описанной выше
(рис. 23.2). Обратите внимание на другой знак.
Пример
jr~ = dx. (23.18)
Четырехмерное скалярное произведение нетрудно записать че-[Обратите внимание на то, что рез метрический тензор жирная точка в правой части равенства обозначает четырехмер- Jf . (a,b) = а • b¦ (23.19) ное скалярное произведение.]
[Обратите внимание на символ «. . .», который обозначает «каждому ясно, что следует написать дальше».]
Доказательство
Возьмем два произвольных вектора
а = а<|- + a+________(23.20)
dt дХ
Ь = f J-+...-, (23.21)
at
тогда
Ж-(a,b) = (-dt°dt+. . .) ¦ Wji+.. -,Vjt+.. .) =
