Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
21.8. (17) Как выглядит кривая, описываемая тензором проводимости для системы проводящих стержней, пространство между которыми заполнено диэлектриком?
21.9. (11) Почему отображение
V —* V; а а + Ь, где b — заданный вектор, не является тензором?
22. Базисные векторы и тензорное произведение
Хорошенькое дельце, — говаривал он, —и такое же занимательное, как алгебра.
Н. Дуглас
Тензорная алгебра основана на использовании свойства линейности. Линейность пространства касательных векторов следует из определения касательного вектора посредством процедуры предельного перехода. Тензор представляет собой линейный оператор, что должно быть ясно из его определения и графических примеров, рассмотренных в предыдущем разделе. Здесь, как и при рассмотрении ковекторов, нам необходимо, с одной стороны, развивать интуицию, а с другой — научиться практически работать с тензорами. Для работы с тензорами необходимо использовать их численное представление. Тензоры образуют линейное векторное пространство, т. е. их можно складывать и умножать на числа. Как и в любом другом векторном пространстве, для перехода к численному представлению нужно выбрать совокупность базисных элементов и записать все тензоры в виде линейной комбинации базисных тензоров. Мы построим базис нашего пространства тензоров с помощью базисных векторов исходного векторного пространства. При этом оказывается, что базис исходною линейною пространства не только естественным образом определяет базис в пространстве ковекторов, но и позволяет построить базис для различных тензорных пространств.
Для построения базисных тензоров введем новое правило умножения, так называемое тензорное произведение. Эта one- 22. Базисные векторы и тензорное произведение
171
рация позволит нам, например, взять два ковектора о> и v и «перемножить» их таким образом, чтобы в результате получился тензор ш ® v. Как оператор произведение ш ® v, представляющее собой тензор, определяется следующим образом:
ы ® v. VX F-> IR; (a,b) ^ (o-a)(vb). (22.1)
Здесь а и Ь — векторы, а (ш ¦ а) и (у ¦ Ь) — числа, перемножение которых дает окончательный результат. Оператор (22.1) представляет собой тензор, если он линеен. Последнее легко доказать. Действительно, ш и> — ковекторы и, следовательно, линейны, поэтому их тензорное произведение ш ® V также будет линейным оператором.
[Выражение ш ® V следует читать как «тензорное произведение омега на ню».]
[Точкой обозначена операция свертывания ковектора с вектором, определенная в разд. 16. Крестиком обозначено декартово произведение, которое мы ввели в предыдущем разделе.]
Пример 1
Предположим, что
ы = dx + dy, V = dx — dy, д
а
(22.2)
дх'
тогда
b=h ду
ш ® V ¦ (a, b) = (си • a) (v ¦ b) = — 1.
(22.3)
Тензорное произведение можно подвергнуть частичному свертыванию. В результате мы найдем, что величина ш ® v(a, —) является ковектором; точно так же ковектор получается в результате свертывания ш ® v(— ,а). Заметим, что эти два свертывания не обязательно дают одинаковый результат:
ш ® V ¦ (а,_) = dx — dy,
ш ® V • (b, _) = dx — dy,
ш ® V ¦ (_,a) = dx + dy,
ш ® V ¦ (_, Ь) = —dx — dy.
[Эти базисные векторы и ковекторы были определены в разд. 18.]
[Здесь мы, следуя общепринятой традиции, обозначаем точкой операцию свертывания тензора с элементом векторного пространства, на котором он определен.]
(22.4) [Продолжение примера 1.]
Другие тензоры могут быть построены путем перемножения двух векторов или вектора и ковектора. Соответствующие правила достаточно очевидны. 172
Гл. II. Геометрия
Линейная структура пространства тензоров
Пример
l-*dx-(dx + dy, 3-f—?-) = 3, <22'5>
дх \ у дх дуJ
4-» dy Odx-dy,—) =Idy, (22.6) дх
4- ® dx ¦ (3 dx - dy, _) = ~dx, (22.7) ду
4-• dx • (—, dy) = TILT! (22.8)
ду
Последняя операция не имеет смысла. Мы не можем определить операцию действия ковектора на ковектор, пока не введем специальный тензорный оператор.
Пространство векторов типа dx ® dx обозначается символом V* ® V*. В рассмотренном выше примере мы имели дело с тензорами, которые являются элементами пространства V ® V*.
Пространство V ® V* знакомо физикам. Элементами такого пространства являются произведения векторов-столбцов на векторы-строки, т. е. матрицы, например
/1\ /1 1 0\ О (1 1 0) =IOOO , (22.9)
W \0 0 0/
а также операторы, представляющие собой произведения векторов состояний квантовой системы вида
\Ф> <Ф'\.
Тензоры, полученные с помощью тензорного произведения, порождают новое векторное пространство. Это не значит, что они сами по себе образуют векторное пространство. Не каждый вектор, принадлежащий, например, пространству V* ® К*, можно записать как произведение двух ковекторов. Это очевидно для матриц, так как не каждую матрицу можно представить как тензорное произведение двух векторов; существует п1 различных матриц п х п и только 2п различных пар векторов. Однако любой тензор можно записать в виде суммы таких тензорных произведений; именно это мы имели в виду, когда говорили, что тензорное произведение порождает 22. Базисные векторы и тензорное произведение
