Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
167
Пример 2
В качестве еще одного примера задачи, которая естественным образом приводит нас к понятию тензора, рассмотрим распространение тока (вектор) в анизотропном проводнике, например в кристалле, под действием градиента электростатического потенциала (1-форма). Теперь вас уже не удивит, что электрические свойства кристалла описываются тензором проводимости a. Соответствующее правило, которое можно понять, обратившись к рис. 21.7, аналогично правилу, сформулированному при рассмотрении предыдущего примера. Так как мы работаем в евклидовом пространстве, длина вектора тока непосредственно дает плотность тока в амперах на квадратный метр, а направление вектора совпадает с направлением тока.
Кратко охарактеризуем некоторые типичные ситуации, при описании которых вводится понятие тензора проводимости. Можно выделить два простейших случая. В первом случае рассматривается тонкая кристаллическая пластинка, на обе поверхности которой наложены проводящие электроды (рис. 21.8). Если проводимость электродов много больше проводимости кристалла, то эквипотенциальные поверхности представляют собой плоскости, параллельные плоскости электродов. Способ нахождения тока при заданном тензоре проводимости изображен на рис. 21.9. Ток имеет две компоненты. Символом
Рис. 21.8
Измерение проводимости тонкой пластинки.
Тензор проводимости
TeHjop проводимости
Рис. 21.7 168
Гл. II. Геометрия
Эквипотенциальные поверхности.
Рис. 21.9
Распределение потенциала и тока в проводящей пластинке. Как показано на рисунке, разность потенциалов между электродами равна 4. Отношение поперечной плотности тока к продольной равно примерно ї \ .
С
-O-Nf
Рис- 21.10
Измерение проводимости длинного тонкого стержня.
J Компонента tpaduetnna 1 потенциала Ьдот стержня
Рис. 21.11
Распределение потенциала и тока в стержне, изображенном на рис. 21.10. Падение напряжения на представленном участке проводника равно примерно 10.
J ± на рисунке обозначена компонента, перпендикулярная пластинам. Этот ток измеряется амперметром, изображенным на рис. 21.8. Компонента тока Ji соответствует переносу заряда вдоль пластин. Ее явный вид зависит от граничных условий. Величина тока Ji пропорциональна не площади поверхности образца, а произведению площади на толщину пластины. В случае тонкой пластины током J1 можно пренебречь.
В противоположном случае мы имеем дело с тонким длинным стержнем, изображенным на рис. 21.10. Теперь нам известен ток, но мы ничего не знаем о том, как выглядят эквипотенциальные поверхности. На рис. 21.11 изображена ситуация, когда стержень вырезан из того же материала, что и пластина, в направлении, перпендикулярном плоскости пластины. Для заданного тока 1-форма градиента потенциала должна иметь изображенный на рисунке вид. И опять граничные условия на концах образца зависят от того, каким способом подсоединены электроды. Для длинного тонкого образца влиянием условий на концах можно пренебречь. Градиент потенциала создает разность потенциалов на концах образца, которая зависит от длины образца и величины компоненты градиента вдоль образца.
Две рассмотренные экспериментальные ситуации взаимно дополняют друг друга. Первый случай соответствует материа- 21. Тензоры
169
лам с низкой проводимостью, второй — хорошим проводникам электричества.
ЗАДАЧИ
21.1. (14) Дайте геометрическое доказательство справедливости равенства (21.5).
21.2. (26) На рис. 21.12 тензор ^действует на вектор, который оканчивается в точке с координатами (х, у)\ в результате мы получаем 1-форму, которая задается двумя числами / и- т. Покажите, что
Ix=I, ту = 1.
21.3. (13) Используя результаты задач 15.7 и 21.2, докажите, что оператор <? линеен.
21.4. (34) Повторите описанную в настоящем разделе процедуру, используя вместо окружности <f гиперболу. Покажите, что в таком случае мы также имеем дело с тензором. Удобно использовать гиперболу
Xy= I.
Еще раз внимательно просмотрите задачи 21.1—21.3.
21.5. (18) Многие кривые можно использовать как операторы, которые превращают векторы в ковекторы, осуществляя для этого описанную выше процедуру. Покажите, что оператор, определяемый параболой
У = *2»
не является тензором.
21.6. (20) Рассмотрите отображение векторов в ковекторы
которое изображено на рис. 21.13. Здесь 3(v) представляет собой набор трех параллельных линий, а величины a, b и с удовлетворяют соотношению
ab = с2.
Покажите, что это отображение представляет собой тензор. Является ли этот тензор симметричным?
Рис. 21.12
Рис. 21.13
2> представляется тремя заданными параллельными линиями.
[Эта задача очень важна. Отнеситесь к ней внимательно.]
21.7. (34) Сравните проводимость, т.е. отношение полного то- 170
Гл. II. Геометрия
[Вас может смутить используемый здесь язык. К сожалению, это общепринятая терминология. Не только векторы являются тензорами, но и, как вы скоро увидите, тензоры являются векторами.]
Базисные тензоры Тензорное произведение
ка к разности потенциалов, для двух пластинок, если одна из них вырезана горизонтально, а другая вертикально из материала, тензору проводимости которого соответствует эллипс на рис. 21.7.
