Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бёрке У. -> "Пространство-время, геометрия, космология. " -> 58

Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.

Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): pronstranstvovremyageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 139 >> Следующая


Ассоциированные тензоры Обозначим этот оператор символом

VX K->IR (21.9) и определим его соотношением

Ш: (а, Ь) н» 38(a) ¦ Ь. (21.10)

Здесь Ща) — ковектор, который действует на вектор Ь, в результате чего получается число. Если,наоборот, нам задан оператор типа S8, то можно обратить процедуру и построить оператор типа aB. Определим оператор aB следующим образом:

_). (21.11)

В (21.11) символом Я (а, —) обозначен частично свернутый оператор. Величина Ща, — ) представляет собой ковектор! Почему? Потому что, если им подействовать на вектор (вставьте вектор на пустующее место), то мы получим число. Этот оператор линеен, если линеен оператор Полилинейность Линейность операторов, которые действуют в пространстве

декартовых произведений, определяется просто. Потребуем, чтобы имела место линейность по каждому аргументу, т.е. 21. Тензоры

165

чтобы выполнялись равенства

W(а + Ь, с) = Ш(а, с) + ЩЬ,с), (21.12)

Ш(а, Ь + с) =Ш(а, Ь) +Ш(а, с). (21.13)

Для данного оператора SB-. К — К* мы можем определить обратный оператор, т. е. линейный оператор aB~1: К* — V, такой, что для всех векторов а справедливо равенство



(21.14)

Не у каждого тензора существует обратный ему тензор.

Мы будем называть линейные операторы типа К — К* и все связанные с ними операторы, осуществляющие отображения К X К - IR, К* - V, К* X К* - IR, К - К и К* - V, тензорами. В большинстве учебников эти операторы называются тензорами второго ранга, векторы и ковекторы называются тензорами первого ранга, а числа — скалярами. Можно определить тензоры еще более общего вида, но лишь немногие из них нам понадобятся. При обсуждении кривизны мы упомянем мимоходом только один тензор высшего ранга — тензор Ри-мана, который осуществляет отображение Kx Kx К — К. Именно поэтому здесь для простоты используется термин «тензор» для обозначения тензора второго ранга.

Тензору который мы ввели при рассмотрении евклидовой геометрии, ставится в соответствие тензор Kx К — IR. Отличительная особенность этого тензора состоит в том, что для него справедливо равенство

(а, Ь)=%(Ь, а).

(21.15)

Тензоры второго ранга

Такие тензоры называются симметричными. Привычные для традиционной геометрии понятия расстояний и углов можно определить в произвольном векторном пространстве, если ввести в нем симметричный невырожденный тензор. Невырожденность означает, что существует обратный тензор.

В случае симметричного тензора нет необходимости указывать, по какому из аргументов производится частичное свертывание, поэтому в таких случаях мы будем использовать сокращенные обозначения:

{а,—). (21.16)

Кроме описания метрических свойств пространства симметричные тензоры имеют множество других приложений, прежде

Евклидова геометрия

[Это равенство легко доказать, воспользовавшись уравнениями (21.5), (21.6) и простыми геометрическими соображениями.]

Симметричные тензоры

Анизотропные среды 166

Гл. II. Геометрия

[К нашему сожалению, анизотропные среды не рассматриваются в обычных курсах, очевидно, именно потому, что для их описания необходимо вводить тензоры.]

всего при описании различного рода анизотропных сред (т. е. сред, свойства которых зависят от направления). Поскольку основное свойство тензора — линейность, тензоры описывают линейные анизотропные среды. При этом обсуждение обычно ведется в рамках евклидовой геометрии, где наиболее удобно использовать обычные ортогональные координаты.

Закон Гука

Рис. 21.5

Пример системы, для которой жесткость зависит от направления.

Пример 1

Рассмотрим силу F, приложенную в некоторой точке к достаточно сложной механической системе. Если реакция на силу не зависит от направления последней, то при малых деформациях связь между величиной приложенной силы и смещением d дается законом Гука

F=kd. (21.17)

В более общем случае естественно ожидать, что упругость системы будет различной в различных направлениях. Можно, например, представить себе систему типа изображенной на рис. 21.5. Вспомним также, что сила является 1-формой. Сочетание этих двух фактов естественным образом приводит нас к понятию тензора упругости Jt. Здесь мы даем только графическое представление тензора Jt. В следующем разделе будет рассмотрено аналитическое и численное представление тензоров.

Тензор упругости мы будем изображать в виде эллипса; при этом 1-форма силы и вектор смещения оказываются связанными посредством процедуры, представляющей собой прямое обобщение правила, сформулированного для метрических тензоров (рис. 21.6). Совсем не очевидно, что Jt— действительно линейный оператор. Легче всего это показать, если воспользоваться аналитическим методом, описанным в разд. 22.

Тензор упругости

Рис. 21.6

Применение эллипса, который представляет тензор упругости. Для малых сил такое построение неприменимо. В этом случае следует воспользоваться свойством линейности: умножить вектор на число и перейти к рассмотренному случаю, а затем умножить вектор смещения на обратное число. 21. Тензоры
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 139 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed