Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Оставшаяся свобода в выборе канонической системы отсчета для часов, измеряющих абсолютное время, определяется тем фактом, что множество s/, так же как и хроноструктура, которую оно представляет, обладает некоторой симметрией. Действительно, для любого фиксированного V преобразование
(х, t) t-» (х + vt, t)
(4.2)
переводит множество s/ в себя, т. е. заменяет одно каноническое представление другим. Преобразования такого вида называются преобразованиями Галилея.
Канонические системы отсчета
[Это определение ие является общепринятым.]
Галилеева симметрия
[Хотя это преобразование включает в себя как чистый сдвиг, так и поворот, его называют сдвигом, и мы тоже будем называть его сдвигом.]
Симметрия: говорят, что объект обладает некоторой симметрией, если существует преобразование, которое оставляет его неизменным.
Если множество st не симметрично, а имеет выпуклости или перегибы, мы можем сформулировать правила, позволяющие расположить выпуклости и перегибы в определенных местах; это однозначно определяет представление. Симметрию абсолютного времени мы характеризуем словами, что время инва- 54
Гл. I. Специальная теория относительности
Инвариантность
риантно относительно преобразований Галилея. Мы собираемся использовать термины «инвариантность» и «ковариантность» в точном смысле этих слов, т. е. для обозначения разных понятий.
[Некоторые авторы не столь аккуратны и не различают эти два понятия.]
Инвариантность: симметрия некоторого объекта относительно преобразований.
Ковариантность: поведение представления некоторого объекта, не обязательно симметричного, при изменениях представлений пространства-времени.
Использование инвариантности
Трансляции
В качестве примера действия преобразований Галилея рассмотрим рис. 4.2. Отрезок мировой линии I с помощью некоторого преобразования Галилея можно совместить с отрезком Г. Следовательно, измеряющие абсолютное время часы, которые были перенесены вдоль отрезка /, и другие часы, которые были перенесены вдоль Г, должны отсчитать один и тот же интервал времени. Почему? Потому, что показания часов — это физическая величина, которая может быть вычислена в любом представлении. В частности, мы можем вычислить временной интервал, соответствующий отрезку /, в представлении, в котором I совпадает с /'. Правила нахождения показаний часов одинаковы в обоих представлениях. Следовательно, оба отрезка должны соответствовать одному и тому же интервалу времени.
Кроме симметрии, связанной с определенными линейными преобразованиями, существует также симметрия относительно трансляций. Это обусловлено тем, что если пространство-время однородно, то все события эквивалентны и в качестве начала отсчета можно выбрать любое событие. Такие неоднородные преобразования не включены в число линейных преобразований, и они не могут быть представлены с помощью матриц. Мы будем часто пользоваться трансляционной симметрией, чтобы упростить вычисления.
ЗАДАЧИ
4.1 (10) Какую некорректность мы допустили, предложив рас- S. Физические часы
55
сматривать рис. 3.2 под углом, чтобы вместо эллипса увидеть окружность?
4.2. (12) Покажите, что показания часов, измеряющих абсолютное время, инвариантны относительно пространственных растяжений (х, t) -> (lex, t),
где к — заданное число.
4.3. (18) Подробно рассмотрите проективные преобразования, которые приведены в примере на стр. 52.
4.4. (20) Пусть хроноструктура задается множеством которое имеет вид (рассматривается случай двух измерений)
JC+ у = 1.
Найдите линейное преобразование, которое приводит к каноническому виду для измеряющих абсолютное время часов.
4.5. (35) Объясните, почему серьезные ученые могут расходиться во мнении по поводу того, должна ли скорость света быть измерена экспериментально или постулирована.
4.6. (27) Прекрасный пример скрытой ковариантности дает интеграл
(
\]
ж
Рис. 4.2
Отрезок / преобразуется в отрезок /' с помощью преобразования Галилея. Здесь это преобразование имеет вид (х, <)"(* + 2//5, t).
j Г X dr.
Покажите, что значение этого интеграла не зависит от положения начала координат. Считайте, что вы работаете в трехмерном евклидовом пространстве, где явный вид векторного произведения хорошо известен.
5. Физические часы
Эллипс, бесспорно, хорош, но — долой скромность! Цайте мне гиперболы, чтобы я мог насладиться истинной красотой.
Роджер Зелазни
Мы видели, каким образом в принципе можно задать инёрци-альную систему отсчета. На практике обычные временнйя и пространственные координаты, которые мы определяем с помощью часов и измерительных стержней, выделяют систему отсчета, которую с хорошей точностью можно считать инерциальной. В рамках этой системы отсчета гЛы можем изучать 56
Гл. I. Специальная теория относительности
[Для простоты мы продолжаем рассматривать случай только одного пространственного измерения.]
Эксперименты с часами
Мировая линия часов
Рис. 5.1
Нахождение события Е, принадлежащего множеству с помощью рассмотрения соседних часов.
