Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бёрке У. -> "Пространство-время, геометрия, космология. " -> 18

Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.

Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): pronstranstvovremyageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 139 >> Следующая


Рассмотрим свойство перпендикулярности. На рис. 3.1, который соответствует выбору ортогональной системы координат, прямые А и В перпендикулярны, прямая В' параллельна В и касается единичной окружности в точке ее пересечения с прямой А. Если прямые параллельны или касаются кривых, это свойство сохраняется при линейных преобразованиях, поэтому мы можем использовать описанное выше построение для доказательства перпендикулярности прямых в любом линейном представлении. Типичный случай изображен на рис. 3.2. Если он кажется вам странным, постарайтесь мысленно растянуть рисунок таким образом, чтобы эллипс стал окружностью. Еще лучше посмотреть на чертеж под углом.

Чтобы найти длину отрезка прямой, будем действовать, как изображено на рис. 3.3. Найдем линию, которая параллельна заданному отрезку и проходит через начало координат. Затем с помощью параллельных линий перенесем отрезок единичной длины на измеряемый отрезок и таким образом найдем длину последнего (однородность). Опять все используемые при построении операции сохраняют свой вид при линейных преобразованиях, поэтому описанная процедура может быть осуществлена в общем случае. Скалярное произведение линейно, поэтому правило нахождения длины вектора дает возможность также вычислять скалярное произведение двух различных векторов:

2 (я • Ь) = (в + Ь) ¦ (я + Ь) - а ¦ а - Ь ¦ Ь. (3.5)

Мы достигли намеченной цели, а именно представили евклидову геометрию, которая ковариантна только по отношению к поворотам, в форме, ковариантной по отношению к произвольным линейным преобразованиям. Мы также расширили понятие скалярного произведения. Равенство (3.1) спра- 3. Евклидова геометрия

ведливо только в ортогональных системах координат; в других случаях необходимо использовать приведенное выше обобщение, а именно определять длину векторов с помощью метрических фигур, а скалярное произведение векторов — с помощью равенства (3.5). Следует поупражняться с этим представлением. Оно очень похоже на то, которое мы будем использовать в специальной и общей теории относительности. Кроме того, такая практика должна помочь вам ближе познакомиться с понятиями ковариантности и линейного преобразования. Вам необходимо научиться узнавать величины, которые «ковариант-ны при линейных преобразованиях».

Пример

Рис. 3.4 соответствует произвольной линейной системе координат. Пусть параллелограмм А в действительности является представлением некоторого квадрата в евклидовом пространстве. Покажем графически, что тогда угол В прямой.

Рис. 3.4

Один способ решения заключается в нахождении соответствующей нашей системе координат метрической фигуры (в данном случае эллипса). Более простой подход состоит в таком изменении представления, при котором метрическая фигура стала бы окружностью. Мы осуществим это с помощью последовательности линейных преобразований, выполняемых одновременно над обеими фигурами. Важно, что одно и то же преобразование применяется к обеим фигурам. В этом смысл приставки «ко» в слове ковариантность. Цель соответствующих преобразований состоит в том, чтобы превратить параллелограмм в квадрат. В соответствующей системе координат метрическая фигура представляет собой окружность, и мы сможем увидеть непосредственно, действительно ли угол В прямой.

Прежде всего выполним преобразование сдвига так, чтобы параллелограмм А на рис. 3.4 стал прямоугольником, представленным на рис. 3.5. Затем сожмем рисунок вдоль оси х

49

Рис. 3.3

Для измерения длины отрезка AB осуществляется его перенос и наложение на метрическую фигуру <?. Здесь длина AB примерно равна трем единицам длины.

\—-\

\

\

\

А \

Рис. 3.5

Сдвиг вида Q-

T-

\

\

\



4-649 50

Гл. I. Специальная теория относительности

[Строго говоря, эти сдвиги включают в себя также растяжение и поворот.]



А

Рис. 3.6

Сдвиг вида І*)« (Ь 0JlY

W Vo i/V

так, чтобы прямоугольник стал квадратом. Это также сдвиг. Результат перечисленных операций изображен на рис. 3.6. Угол В действительно прямой.

ЗАДАЧИ

3.1. (17) В произвольной линейной системе координат, в которой единичная окружность имеет вид, изображенный на рис. 3.7, нарисуйте несколько квадратов различной ориентации.

3.2. (20) Задайтесь численными данными и повторите рассмотренную в примере задачу аналитически.

3.3. (22) Пусть оба угла, изображенные на рис. 3.8, прямые. Нарисуйте квадрат, одна сторона которого параллельна линии L. (Это построение выполняется не с помощью линейки и циркуля.)

3.4. (15) Выполните построение, изображенное на рис. 3.3, в произвольной линейной системе координат.

3.5. (25) Всегда ли существует система координат, в которой любые два угла типа рассмотренных в задаче 3.3 окажутся прямыми?

Рис. 3.8

4. Инерциальные системы отсчета

Теперь мы готовы к тому, чтобы внимательно рассмотреть вопрос об инерциальной системе отсчета. Инерциальная система отсчета является отображением ф событий физического мира на пространственно-временную диаграмму, отображением, которое обладает особыми свойствами по отношению к свободным частицам и часам. Строго говоря, мы можем рассматривать отображение просто как правило, позволяющее каждо- 4. Ииерциальные системы отсчета
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 139 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed