Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 2.3
Примеры линейных преобразований в пространстве двух измерений: растяжение (дс, у) " (2дс, 2у), поворот (*,>') « (Vbr - ,у, дс + V3y) и сдвиг
(*, у) « (дс + V3У, .1').
ЗАДАЧИ
2.1. (10) Найдите явное линейное преобразование, которое переводит перпендикулярные в евклидовом пространстве прямые в неперпендикулярные.
2.2. (9) Какой интервал времени отсчитают часы, которые, двигаясь с постоянной скоростью, перемещаются из события О в событие В на рис. 2.1?
Ковариантность
[Возможно, потребуется некоторое время, прежде чем вы поймете идею ковариантности.] 46
Гл. I. Специальная теория относительности
2.3. (20) Покажите, что для часов, измеряющих абсолютное время, временной интервал, который отсчитывается часами при переносе из одного события в другое, не зависит от пути.
3. Евклидова геометрия
Ковариантность представления по отношению к линейным преобразованиям — важное и тонкое понятие. Здесь мы сопоставим обычный подход к построению евклидовой геометрии с подходом, который обладает такой ковариантностью. Сразу заметим, что справедливы и та и другая точки зрения. Выбор между ними должен основываться не на предрассудках, а исключительно на соображениях удобства проведения конкретных вычислений. Поскольку измерение пространственных расстояний очень похоже на измерение временных интервалов, с аналогичной проблемой мы столкнемся, когда вернемся к специальной теории относительности. Здесь важны как отличия, так и сходные черты. Мы увидим, что введенное нами представление хроноструктуры события также описывает евклидову геометрию.
Евклидова геометрия в обычном Для начала обсудим традиционный подход к построению
изложении евклидовой геометрии. Не нарушая общности, можно считать
наше пространство двумерном. Линейное пространство проще всего сделать евклидовым, если определить в нем скалярное произведение следующим образом.
[Причина, по которой для обозначения компонент используются верхние индексы, станет понятной в следующей главе, которая посвящена геометрии. Не путайте их с показателями степени.]
Евклидово скалярное произведение:
ab= ахЬх + ауЬу,
(3.1)
где а является 2-вектором с компонентами Ox и Oy; то же самое относится и к Л.
Для вычисления скалярного произведения векторов, которые не выходят из начала системы координат, будем пользоваться параллельным переносом (помните об однородности). Алгебраически это находит отражение в дистрибутивности операции скалярного произведения
(Здесь а, Ь и с — векторы.] (а + Ъ) • с = а • с + b ¦ с. (3.2) 3. Евклидова геометрия
47
Последнее свойство непосредственно следует из определения (3.1). Знакомые нам понятия длины и угла можно ввести, воспользовавшись скалярным произведением. Длина вектора а, обозначаемая как Iel, имеет вид
а ¦ а,
(3.3)
а угол в между двумя векторами а и Ь дается соотношением
в~\а\\ЬУ
(3.4)
В евклидовой геометрии скалярное произведение имеет вид Ортогональные координаты (3.1) только при специальном выборе системы координат. Оси должны быть ортогональны, и масштаб на обеих осях должен быть одинаков. Такие координаты называются ортогональными. Они не единственны. Если повернуть систему координат, то правило (3.1) останется в силе. Простота этого правила обычно делает эффективным использование именно ортогональных координат. Аналогичное положение мы обнаружим в специальной теории относительности, где хроноструктура также может быть представлена с помощью некоторого скалярного произведения. Вычисления, проводимые в рамках специальной теории относительности, выполняются наиболее эффективно в представлении, где скалярное произведение имеет простой вид. К сожалению, общую теорию относительности нельзя рассматривать в таких координатах. Действительно, присутствие гравитации проявляется в том, что мы не можем найти такое представление. К счастью, представления, которые ковари-антны относительно произвольных линейных преобразований, не столь ограничены и могут быть нужным образом обобщены. Это более общее представление является и «более понятным», поскольку свойства индивидуального представления не путаются со свойствами самого множества
Как сформулировать евклидову геометрию в форме, ковари- Произвольные координаты антной относительно линейных преобразований? Поступим так же, как мы делали при рассмотрении часов. Возьмем множество точек которые расположены на единичном расстоянии от начала координат.. В случае ортогональных координат S представляет собой окружность. После выполнения произвольного числа растяжений, сдвигов и поворотов мы получим эллипс произвольного размера, эксцентриситета и ориентации. Правило измерения отрезков прямых линий называется метрикой; будем называть множества точек типа (f метрическими 48
Гл. I. Специальная теория относительности
Метрические фигуры
Рис. 3.2
Длины
фигурами. Мы видим, что в общем случае метрическая фигура для евклидовой геометрии представляет собой эллипс. Каким образом мы используем S для измерения длин и углов? Внимательно проследите, как это делается. Метод достаточно тонкий; кроме того, мы будем им много раз пользоваться. Мы знаем, что такое длина и угол в ортогональных координатах. Если сформулировать определение этих понятий в терминах операций, таких, как параллельный перенос, которые ведут себя должным образом при линейных преобразованиях, то те же операции можно выполнить в любой другой линейной системе координат; результат будет тот же.
