Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Раз мы знаем множество J? всех событий, которые отстоят от начала отсчета на единицу времени, мы имеем полное описание поведения любых часов. Постулат равномерности хода часов позволяет переносить стандартный временной интервал куда угодно и таким образом измерять любые промежутки времени, как изображено на рис. 2.1. Подчеркнем, что знание в одной инерциальной системе вполне достаточно для полного описания поведения часов. Не нужно каждый раз рассматривать систему отсчета, где часы «покоятся». Мы еще даже не определили, что понимается под словом «покоится». Обратите внимание также на то, что наше представление доступно экспериментальному изучению. Физик-экспериментатор в состоянии в пределах ошибки измерения осуществить прямое измерение множества S.
Применим сформулированную выше идею для описания поведения часов в ньютоновой механике. Будем называть такие 2. Часы
43
часы часами, измеряющими абсолютное время. Это самосогласованная математическая модель, которая соответствует поведению реальных часов при низких скоростях. Кроме того,
Рис. 2.1
Использование равномерности хода часов для измерения временного интервала AB. Для ситуации, изображенной на рисунке, он равен примерно 1,5 временной единицы.
сравнение с ньютоновой механикой позволяет лучше понять то новое, что вносит в представление о времени специальная теория относительности. Обычные пространственная и временная координаты ньютоновой механики определяют некоторую инерциальную систему отсчета. При этом показания часов непосредственно даются временной координатой. Обозначим через ^множество событий, которое представляет поведение часов, измеряющих абсолютное время: яґ изображается горизонтальной линией, проведенной на расстоянии, равном единице, от начала отсчета (рис. 2.2). В случае большего числа измере- ' ' ний это будет плоскость или гиперплоскость. Соответствующая теория часов самосогласована и даже «приятна» в некотором смысле. Мы увидим, что она обладает своей собственной__і
симметрией, которую называют галилеевой симметрией и которая аналогична лоренцевой симметрии специальной теории
относительности. В действительности специальная теория от- __
носительности была придумана потому, что гапилеева симметрия абсолютного времени оказалась несовместимой с лоренце- рис. 2.2 вой симметрией электродинамики Максвелла.
Теперь мы сталкиваемся с проблемой, состоящей в том, Возможно много представлений что наши постулаты не определяют однозначно инерциальную 44
Гл. I. Специальная теория относительности
систему отсчета. Глубже этот тонкий вопрос рассматривается в разд. 4, который посвящен специально инерциальным системам отсчета, однако имеет смысл начать его обсуждение уже сейчас. Описание различия между двумя инерциальными системами отсчета, т. е. между двумя отображениями ф и ф' в наше векторное пространство V, удобно свести к рассмотрению преобразования пространства V, при котором пространственно-временная диаграмма, получаемая при отображении ф, переходит в пространственно-временную диаграмму, получаемую при отображении ф'.
Преобразование: отображение множества на себя.
Линейные преобразования
[Смысл обозначения с помощью «ограниченной» стрелки « объяснен на стр. 36.]
[При к = 2 отображение (2.1) приобретает вид (1, 0)--(2, 0), т.е. преобразование переводит точку, которая лежит на оси х иа расстоянии, равном единице от начала отсчета, в точку, которая лежит на расстоянии, равном двум.]
[Эти два сдвига отличаются только поворотом на 45°.]
При таком подходе мы остаемся в рамках нашей математической модели. Отображения ф и ф' представляют собой достаточно сложные операции, так как они связаны, с одной стороны, с физическим миром, а с другой стороны, с нашей математической моделью. Если в результате этих отображений мы получаем инерциальные системы отсчета, то на обеих пространственно-временных диаграммах мировые линии свободных частиц будут прямыми. Таким образом, наше преобразование должно переводить прямые линии в прямые. Кроме того, ход часов должен быть равномерным в обеих системах отсчета, следовательно (это не трудно увидеть), параллельные прямые должны переходить в параллельные прямые. Отображения, которые удовлетворяют сформулированным требованиям, называются линейными преобразованиями. Поскольку линейные преобразования важны и будут часто использоваться, приведем их явный вид в случае пространства двух измерений (рис. 2.3). Это следующие преобразования:
растяжения (х, у) (кх, ку); (2.1)
повороты (х, у) і-» (cos 0 je + sin в у, cos в у — sin 0 jcJ ;
(2.2) (2.3)
сдвиги
(*, у) |-> (ах,
(х,у)
1
= (x — vy, у - VX).
п*
(2.4)
Vl -V
Любое линейное преобразование является комбинацией пере 2. Часы
45
численных выше преобразований. Кроме того, мы можем просто перенести начало координат в другую точку. Линейные преобразования могут быть представлены в виде квадратных матриц.
В различных представлениях множество ? будет иметь разный вид, несмотря на то что оно соответствует одним и тем же часам. На рис. 2.3 показано, каким образом изменяется при линейных преобразованиях множество л/, которое представляет поведение часов, измеряющих абсолютное время. Такое изменение представления называется ковариантностью. Всюду в этой книге мы будем иметь дело с представлениями, для которых любые линейные преобразования или некоторое подмножество множества линейных преобразований переводит одно допустимое представление в другое допустимое представление. Понятие ковариантности включает в себя такие изменения представления.
