Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
[Числа в круглых скобках указывают относительную сложность задачи; соответствующая шкала приведена на стр. 25.]
Рис. 1.5.
Если векторы А С и BD равны, то часы, которые переместились вдоль отрезка AB мировой линии, покажут то же самое время, что и часы, переместившиеся вдоль отрезка CD. Это один из аспектов равномерности хода времени.
ЗАДАЧИ
1.1. (15) Перечислите некоторые идеализации, использованные при построении рис. 1.1.
1.2. (15) Если на рис. 1.1 светофоры расположены на расстоянии квартала друг от друга, то достаточно ли времени у водителя второй машины, чтобы среагировать на смену сигнала светофора?
1.3. (24) Используя пространственно-временную диаграмму, выясните, почему нельзя синхронизовать светофоры, если движение по улице двустороннее, а светофоры расположены на различных расстояниях друг от друга.
1.4. (12) Убедитесь, что множество, рассмотренное в примере 1 на стр. 35, действительно является векторным пространством, т. е. что для него выполняются соответствующие аксиомы.
1.5. (18) Покажите, что преобразование координат
(t, х) (и, V) = (Vx2 - г2,
ar th
отображает кривые, изображенные на рис. 1.2, в прямые.
1.6. (35) Проведите еще несколько мировых линий свободных частиц в криволинейном представлении, которым мы пользовались при построении рис. 1.2. Какой вид, в частности, будет иметь картина вблизи начала координат? 2. Часы
41
1.7. (15) Покажите, что никакое преобразование координат не превратит в прямые семейство окружностей, изображенное на рис. 1.6. Уравнение семейства имеет вид
(х-a)2+ (y-b)2 = 1,
где различным окружностям соответствуют различные значения а и Ь.
1.8. (30) Найдите преобразование координат, которое отображает семейство парабол, изображенных на рис. 1.7,
x=a + bt + t2
в прямые линии.
1.9. (15) Пусть электроны движутся под действием однородного электрического поля. Можно ли рассматривать их как свободные частицы? Что можно сказать о смеси частиц с различным отношением заряда к массе?
1.10. (12) Рассмотрите пространственно-временные диаграммы, изображенные на рис. 19.6, 19.7 и 29.15. Опишите ситуацию в различные моменты времени.
1.11. (34) Придумайте трехмерный аналог странного векторного пространства, рассмотренного в примере 2 на стр. 35.
2. Часы
Если бы кое-кто не совался в чужие дела, — хрипло проворчала Герцогиня, — Земля бы вертелась быстрее.
Льюис Кэррол
Фундаментальная структура пространства-времени, рассмотренная в разд. 1, не определяет однозначно поведение набора идентичных часов, которые находятся в данной точке пространства-времени. При обсуждении этого вопроса воспользуемся инерциальной системой отсчета. Нам потребуется эффективный способ представления, дающий возможность описать поведение любых часов, ход которых согласован с нашими постулатами. Оказывается, что такое представление легко найти. Для начала применим его к хорошо знакомому случаю ньютоновой механики. Это позволит нам попрактиковаться на известном материале, прежде чем переходить к ново-
[Оценка сложности этой задачи дана в предположении, что вам известны результаты задачи 1.8, и не учитывает сложности задачи 1.8.] 42
Гл. I. Специальная теория относительности
Представление хроноструктуры
[Мы будем использовать прописные рукописные буквы, например для обозначения как множеств, так и хроноструктур, которые они представляют. Если необходимо использовать различные обозначения, то множество можно обозначать как
Обычно в книгах при рассмотрении метрик используется обозначение ds2, а не У/.]
[Заметьте, что на рис. 2.1 часы, движущиеся влево, ведут себя не так, как часы, движущиеся вправо.]
Часы, измеряющие абсолютное время
му и достаточно тонкому вопросу о поведении часов в специальной теории относительности. Поскольку инерциальная система отсчета не единственна, необходимо рассмотреть ход различных часов в различных инерциальных системах отсчета. В результате мы придем к важному понятию ковариантности, которое играет фундаментальную роль во всем тензорном анализе.
Каким образом мы будем представлять поведение различных часов? Предположим только, что ход часов согласуется с нашими постулатами и что мы каким-то образом выбрали некоторую инерциальную систему отсчета, в которой будем работать. Хотя постулат равномерности хода часов накладывает ограничения на поведение часов, которые перемещаются вдоль любой выделенной мировой линии, а также вдоль всех мировых линий, параллельных выделенной, он ничего не говорит о различных семействах параллельных мировых линий, т. е. о семействах часов, движущихся с разными скоростями. Наши различные теории характеризуются различным поведением движущихся часов.
Каким образом учесть такую дополнительную информацию? Мы можем сделать это непосредственно. Рассмотрим различные часы, которые пролетают через начало отсчета (нулевой вектор) со всевозможными скоростями. На каждой мировой линии отметим точку, которой соответствующие часы достигли за единицу времени. Множество всех таких отметок для всевозможных часов и будет нашим представлением поведения часов.
