Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
нятие события объединяет в себе как пространственное положение, так и время. Понятно, что реальные события характеризуются определенной протяженностью. Однако при нашем усредненном описании этой внутренней структурой мы пренебрегаем. 1. Структура пространства-времени
33
Мы будем изображать физические события и их связи с по- Пространственно-временная диа-мощью четырехмерной картины, которую называют грамма пространственно-временной диаграммой. Поскольку во многих практически интересных случаях зависимостью от некоторых координат можно пренебречь, наши пространственно-временные диаграммы чаще всего будут двумерными. Такие диаграммы, где по одной оси отложена пространственная координата, а по другой — время, изображают события, которые происходят вдоль определенной линии в пространстве. В случае большего числа измерений мы будем выполнять рисунки в перспективе либо приводить сечения пространственно-временной диаграммы, либо проецировать диаграмму на одну из координатных плоскостей (пренебрегая остальными измерениями). Объекту, существующему в течение продолжительного времени, в пространстве событий соответствует непрерывная кривая, которая называется мировой линией.
Пример
Рассмотрим пространственно-временную диаграмму, изображающую движение автомашин по улице, вдоль которой расположены светофоры. Здесь мы имеем, например, такие события: на данном светофоре загорается красный сигнал в тот момент, когда к нему подъезжает определенный автомобиль, и т. д. Пространственно-временная диаграмма приведена на рис. 1.1. На нем отмечены некоторые события (изменение сигнала светофоров, начало движения автомобилей). Изображены мировые линии двух автомобилей и двух светофоров. Используются обычные временная и пространственная координаты.
Надеюсь, что приведенный пример позволяет понять, что такое пространственно-временная диаграмма. Это графический аналог обычного расписания движения, например расписания движения самолетов. Важно то, что такая простая идея при надлежащем развитии может стать мощным инструментом исследования, необходимым для нашей последующей работы. Из определения события следует, что совсем необязательно, чтобы в данной точке пространства в данный момент действительно что-либо произошло. Ситуация полностью аналогична той, с которой мы сталкиваемся в евклидовой геометрии, где большая часть точек плоскости не принадлежит никаким геометрическим фигурам.
[Это проекция. На самом деле автомобили не сталкиваются.]
машины Мировая линия Мировая
Миреная линия второго линия нервово светофора второй,
светофора машины
Рис. 1.1.
Двумерная пространственно-временная диаграмма, изображающая движение автомобилей по улице. Зависимость от координаты по оси, проведенной поперек улицы, не учитывается.
3-649 34
Гл. I. Специальная теория относительности
Чтобы пояснить, в каком смысле пространственно-временная диаграмма представляет физические события, нужно дать ее операциональное определение, т. е. перечислить последовательность физических измерений и математических операций, необходимых для ее построения. Однако мы отложим обсуждение этих вопросов до следующего раздела, поскольку понятие операций не имеет смысла, пока мы не рассмотрели некоторых проблем, касающихся часов и световых сигналов. Следует также четко представлять, что сама по себе пространственно-временная диаграмма — это математическая модель, основанная на понятии линейного векторного пространства, понятии, с которым мы будем часто сталкиваться в этой книге. Линейное векторное пространство является обобщением привычного трехмерного пространства, с которым мы работаем в механике и электродинамике.
Множество элементов мы будем называть линейным векторным пространством, если выполняются определенные аксиомы. Должно быть задано правило сложения двух элементов векторного пространства, в результате которого получается элемент того же пространства. Должна быть определена операция умножения вектора на действительное число. Требуется, чтобы при этом выполнялись обычные свойства операций сложения и умножения.
Линейное векторное простран- Аксиомы линейного векторного пространства. Пусть а, Ь и ство с — векторы, принадлежащие заданному линейному векторно-
му пространству, и пусть кит — действительные числа; тогда операции сложения и умножения на число должны удовлетворять следующим требованиям:
а + (Ь + с) = (а + Ь) + с, (Ы)
а + Ь= Ь + а. (1.2)
Должен существовать нулевой вектор, который обозначается символом 0, такой, что для любого вектора а
а + 0 = а. (1.3)
Для каждого вектора а должен существовать вектор (—а), такой, что
fl+(-fl)=0. (1.4)
Умножение на число должно удовлетворять следующим требо- 1. Структура пространства-времени
35
(кт)а = к(та), (1.5)
(к + т)а = ка + та, (1.6)
к(а + Ь) = ка + кЬ. (1.7)
Наконец, умножение на единицу не должно изменять вектор
Ia = а. (1.8)
Пример 1
Рассмотрим множество числовых пар (х, у), где х и у — произвольные действительные числа. Правила сложения
