Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
dV dV dV dV OV
—— = rr і --TT > -r- = -T ; 1 b)
dxt Oxi dyi dyt dzt Ozi
таким образом, правая часть уравнений (2.11) инвариантна относительно преобразования (1.3). Справедливо ли то же самое и для левой части, можно решить только после рассмотрения трансформационных свойств уравнений (2.13). Разумеется, уравнения остаются справедливыми и в новых координатах только в том случае, если обе их стороны преобразуются одинаковым образом. В противном случае они не ковариантны относительно рассматриваемого преобразования. Мы должны выяснить, являются ли трансформационные свойства правой части уравнений (2.11) совмести- MijMn с трансформационными свойствами левой части уравнений (2.13), поскольку закон преобразования силы f; определяется обеими этими системами уравнений.
Преобразуем сперва, согласно (1.1), правую часть уравнений (2.11). Применяя правила дифференцирования функций многих переменных, получим:
дУ
дХ{
S1Y-
ду, dzj
дУ
dXj
дУ дх\ дУ
дХ:
, дУ
-1?
+
дУ
+
+
дУ
дУ
дг\'
дУ
tSl >
.с 4-^-.с +
13 ' ду\ 23 ' OZ,
(2.17)
Зл уравнений (2.17) можно разбить на п групп, по 3 уравнения в каждой; группы отличаются друг от друга только значением і. Каждая из этих групп преобразуется, как компоненты вектора, т. е. компонента в направлении некоторой оси в одной системе равна сумме проекций на эту ось трех компонент в другой системе координат.
Преобразуются ли левые части уравнений (2.11) так же, как компоненты вектора, может быть решено после рассмотрения трансформационных свойств уравнений (2.13). Левые части уравнений (2.13) представляют собой произведение масс на ускорения. Мы уже установили, что в классической физике масса рассматривается как постоянная, характеризующая данное тело, не зависящая от его состояния движения и инвариантная относительно преобразования координат.
То, что ускорение тела инвариантно относительно преобразования (1.3), мы уже видели из уравнений (2.7). Поэтому левые части уравнений (2.13) преобразуются по (1,3) гак же, как правые части уравнений (2.11).
Возвращаясь к преобразованиям (1.1), мы видим, чго
х,= cuxt~\-cnyt-\- CvjZt и т. д.,
(2.18)
но так как саЬ представляют собой косинусы углов и величина этих косинусов не зависит от знака угла cos a = cos (— а),
то очевидно также, что
Xt = CuXi + C2^yic^z'i и т. д. (2.18а)
Опять-таки, левые части уравнений (2.13) преобразуются точно таким же образом, как правые части уравнений (2.11), в этом случае, как п векторов.
Уравнения (2.13) можно рассматривать, как уравнения, определяющие силы f(-. Отсюда заключаем, что сами силы преобразуются так, что оба уравнения (2.11) и (2.13) Ko-вариантны. По отношению к пространственным ортогональным преобразованиям координат силы являются векторами; силы инвариантны относительно преобразований, представляющих равномерное прямолинейное движение одной сисшмы координат относительно другой. Эти соотношения могут быть представлены в несколько иной форме. Исключая ft из уравнений (2.11) и (2.13), получим из них следующую систему уравнений:
Эти уравнения выражают те же физические положения, что и уравнения (2.11) и (2.13), но не выявляют столь ясно трансформационные свойства силы.
Результатом приведенных выше рассуждений является то, что обе стороны каждого из уравнений (2.11) и (2.13) преобразуются одинаковым образом, и поэтому эти уравнения остаются справедливыми после произвольного преобразования Галилея.
Уравнения, которые совершенно не изменяются при преобразовании (т. е. члены которых являются инвариан-
^mxi= О,
дя{
(2.19) тами) называются инвариантными. Уравнения, которые остаются справедливыми в силу того, что их члены, не являющиеся инвариантными, преобразуются по одним
r dV
и тем же законам [как, например, члены ^r и ITtx1 и тому
подобные в уравнениях (2.19)], называются ковариант-н ы м и.
Ковариантность уравнений является математическим свойством, которое соответствует существованию принципа относительности для физических законов, описывающихся этими уравнениями. Действительно, принцип относительности классической механики эквивалентен нашему результату, согласно которому законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах, т. е. во всех тех системах координат, которые получаются из некоторой инерциальной системы произвольным преобразованием Галилея.
Другие разделы механики, такие, как механика сплошных сред (теория упругости и гидродинамика) или механика твердых тел, могут быть получены из механики точки путем введения соответствующих энергий взаимодействий типа (2.10) и некоторого предельного перехода. И без подробного рассмотрения этих областей механики очевидно, что полученные результаты применимы к ним в такой же мере, как и к рассмотренным выше законам движения свободных точечных масс. Глава III
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА *
Проблемы, стоящие перед классической оптикой.
В течение XIX в. развилась новая отрасль физики, не укладывающаяся в рамки классической механики. Этой отраслью была электродинамика. Пока были известны только эффекты электростатического и магнитостатического характера, они могли трактоваться в рамках механики путем введения электростатических и магнитостатических потенциалов, зависящих лишь от расстояний между электрическими зарядами или магнитными полюсами.
