Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Преобразования Галилея. Если какой-либо закон не изменяет своего вида при некоторых преобразованиях координат, т. е., если он одинаково выражается в различных координатах, говорят, что этот закон инвариантен или ко-вариантен относительно рассматриваемого преобразования. Закон инерции (2.1) ковариантен относительно преобразований (1.1) и (1.3), но не относительно (1.2). Преобразования (1.1) и (1.3) весьма важны для дальнейшего. Обычно их называют преобразованиями Галилея. Согласно классической физике, любые две инерциальные системы связаны преобразованием Галилея.
Закон сил и его трансформационные свойства. Рассмотрим трансформационные свойства основных законов классической механики. Эти законы могут быть сформулированы следующим образом.
Тела, находящиеся под действием сил, приобретают ускорения, пропорциональные этим силам. Отношение силы к ускорению для данного тела есть величина постоянная, называемая массой тела.
Полная сим, действующая на тело, есть векторная сумма всех сил, обусловленных другими телами данной механической системы. Другими словами, полное взаимодействие системы тел составляется из взаимодействий отдельных пар. Силы, с которыми два тела действуют одно на другое, направлены по прямой, их соединяющей, равны по величине и противоположно направлены; то есть два тела могут либо отталкиваться, либо притягиваться друг к другу. Величина этих сил является функцией только расстояния между нами; ни скорости, ни ускорения тел на ее величине не сказываются.
Эти законы применимы для таких явлений, как гравитация, электростатика и силы Ван-дер-Ваальса; к электродинамике они неприменимы, так как взаимодействие между магнитными полями и электрическими зарядами приводит к силам, которые направлены не по прямой, соединяющей заряд и источник поля, и величина которых зависит не только от положений, но и от скоростей заряженных тел.
Но если только выполняются приведенные выше условия, то силы можно представить как отрицательный градиент потенциальной энергии. Последняя является суммой потенциальных энергий, характеризующих взаимодействие двух тел или „точечных масс ,
^=S S v^s^
I=1 fc=/+l
(2.10)
%=V(*i - 4- (Л-Л)2+to -
Индексы ink относятся к взаимодействию между /-й и А-й точечными массами, а — расстояние между ними. Функция Vlk (?) определяется характером рассматриваемой задачи, например задается законом Кулона, законом тяготения Ньютона и т. д.
Сила, действующая на /-ю точечную массу, равна:
ft, X — OX1 it Xyl^VikXl- xk dSlk Sik
II dV _ дуі V' dVtk У і — У к fei ds<* Sl*
Ozl n VdVik Zi — Zk )? dsIk Sik
кфі (2.11)
Из вида системы уравнений (2.11) явствует, что компоненты силы, обусловленные взаимодействием только /-ГО и k-ro тел, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, так что
aVtk = dVik
дх, дхк •
Поэтому сумма всех сил, действующих на все п точечных масс, равна нулю:
ляп
(2-12)
fei fei /=1 Дифференциальные уравнения движения тел таковы:
mixi=fi,x> тіУі=/і,у•
mIz I= ft,г¦ ,
где Itii — масса /-го тела.
Мы покажем теперь, что система уравнений, определяющая поведение механической системы — (2.10), (2.11) и (2.13), — ковариан-тна относительно преобразований Галилея.
Будем исходить из выражений (2.10). Функция V зависит от расстояний Sik различных точечных масс друг от друга. Как будут преобразовываться Sik при преобразовании координат (1.1) или (1.3)? Чтобы ответить на этот вопрос, надо иметь в виду, что координаты /-го и k-ro тела должны быть взяты в один и тот же момент времени; другими словами, расстояние между двумя телами есть функция времени. Конечно, координаты различных точечных масс преобразуются независимо друг от друга, каждая совокупность {xt, yt, Zi) преобразуется согласно уравнениям (1.1) и (1.3).
Легко видеть, что при преобразовании (1.3), соответствующем равномерному прямолинейному движению, разности координат двух точек, например Xi — xk, остаются неизменными
X* — Xtk = Xi-Xk. (2.14)
Поэтому и Sik имеют в новой системе координат S* тот же вид, что и в старой системе S.
Уравнения преобразования (1.1) дают связь между двумя системами координат с непараллельными осями, покоящимися друг относительно друга. Очевидно, что расстояние между двумя точками выражается в таких систе- мах координат одинаково, так что:
У К - •**)"+(л— л)а+to - zIf= Ї
= J
Величина, не меняющая своего значения (в данной точке) при некотором преобразовании координат, называется инвариантом по отношению к этому преобразованию. Расстояние между двумя точками является, таким образом, инвариантом.
Мы видим, что аргументы функции V, т. е. величины Sti, инвариантны относительно преобразования Галилея. Поэтому и сама функция V, полная потенциальная энергия механической системы, также инвариантна по отношению к этому преобразованию; в новой системе координат она имеет ту же форму и принимает те же значения, что и в первоначальной системе. Уравнение (2.10) ковариантно относительно преобразований Галилея.
Покажем теперь инвариантность уравнений (2.11) относительно преобразования (1.3). Правая часть уравнений (2.11) содержит производные по инвариантным величинам. Производные по новым координатам связаны с производными по старым координатам следующим образом:
