Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Приведенные выше четыре тензора второго ранга равны между собой с точностью до знака, так как они получаются один из другого перестановкой индексов в одной из пар или перестановкой самих пар индексов. Свернутый тензор Riki принято обозначать через Rkv В силу свойств симметрии RlkL тензор Ril симметричен в своих индексах. Свертывая, далее, Rkp получим так называемую скалярную кривизну R:
R = SklRkn Rki=RikL - (11-42)
Ri, выражается через символы Кристоффеля следующим образом:
МгМА}.-{;,}Ц}+{д}Ш- (и-43)
Симметрия относительно индексов k и / очевидна во всех членах, кроме первого. Выражение из которого по-
лучается первый член, может быть представлено в виде
{is} = 1 Srs («./, s + grs, I — STls1 г)-
Разность grl s — glstr антисимметрична относительно г и s и после умножения на grs обращается в нуль. В скобках остается только второй член:
= = (logV?),,, g=\gab\(11.44)
Первый член в (11.43) поэтому равен
Ub=0ogv^u <ім5>
и тоже симметричен в/ні.
Свернутые тождества Бьянки. Дважды свертывая тождества Бьянки (11.35), получим тождества, содержащие только свернутый тензор кривизны. Свернем сначала (11.35) по і и п:
Rkr, 1 "I- Rk'/. ;г -f Rlr/. = 0.
Меняя в последнем члене местами индексы / и г, в силу (11.28) получим:
Rks; I 4" RkJ. ;r-Rts;k = 0, или
Далее, переставим контравариантные индексы s и г во втором члене
Rku. = — Rki.'..
и свернем по индексам k и s. Тогда R;i — 2R,:ir=0,
или
_ !^)^==0. <"-46>
Выражение в скобках обычно обозначают через Gtr:
(P = Rb--JgbR. (1L47)
Число алгебраически независимых компонент тензора кривизны. Компоненты ковариантного тензора кривизны Rtktm удовлетворяют алгебраическим соотношениям (11.28), (11.29) (в обеих этих формулах индекс и предполагается опущенным), (11.40) и (11.41). Поэтому количество алгебраически независимых его компонент уменьшается. В этом разделе мы покажем, что их число в «-мерном пространстве равно
ЛГ=1Яг(лз —1). (11.48)
В двумерном пространстве тензор кривизны имеет только одну отличную от нуля компоненту: одного скаляра R уже достаточно, чтобы полностью охарактеризовать кривизну В трехмерном пространстве существует шесть алгебраически независимых компонент тензора кривизны. Такое же количество независимых компонент имеет и свернутый тензор Rkt, в
1J Можно показать, что в двумерном пространстве тензор кривизны следующим образом зависит от R:
Яш",:=4 ^ gki-tUit) R- этом случае им полностью определяется тензор кривизны '). В четырехмерном пространстве N равно 20, в то время как свернутый тензор кривизны имеет только 10 независимых компонент. Кривизна пространства, число измерений которого меньше четырех, полностью определяется свернутым тензором кривизны Rkl.
Перейдем к выводу формулы (11.48). Разделим компоненты Riki на три группы: к первой группе отнесем компоненты, у которых индексы во второй паре имеют те же значения, что и индексы в первой паре, например Rmv ко второй — компоненты, в которых только один индекс встречается дважды, например Ry213; наконец, в последнюю группу войдут компоненты, у которых все четыре индекса различны, например Rx2u.
В первой группе, где различны только два индекса, первые и вторые индексы пар должны быть одинаковыми, так как в силу уравнений (11.28) и (11.40) два индекса одной пары не могут равняться друг другу. Эти компоненты имеют вид Rtkii (помнить: здесь одинаковые индексы не знак суммы). Rikhi отличается от RiiiIg только знаком. Количество компонент такого типа равно числу пар (/, к) при I=^k-
Индекс і может принимать п различных значений. Так как при заданном i, k может принимать только
п—1 различных значений. Ввиду того что последовательность і и А безразлична, произведение п (п—1) нужно разделить на 2. Отсюда число различных пар (і, к) (г ф к) равно
Np=~n(n — 1), (11.49)
!) В трехмерном пространстве Rik" выражается через Rkt следующим образом:
=«f *w-«;*f. +«и Я,?- и количество алгебраически независимых компонент с двумя индексами будет также
Л/, = 1л(л-1). (11.50)
Циклические тождества (11.29) не уменьшают этого числа, так как они будут независимы от других алгебраических тождеств, только если все четыре индекса различны. Действительно, если два из четырех индексов і, k, I, тп равны, (11.29) приводятся к одной из следующих форм:
Ran + <Л«н> + Rum — °>
или
Riklm "ЬRkHm + <Riikm> = O1K
Эти уравнения являются следствием уравнений (11.28), (11.40) и (11.41).
Рассмотрим теперь вторую группу компонент, которые имеют по три различных индекса. Применением (11.28) и (11.40) все эти компоненты могут быть приведены к форме Rtkim. Значение і может быть выбрано п способами. Из оставшихся (л—¦ 1) чисел нужно выбирать пары различных чисел для k vi тп. Согласно (11.49) это можно
сделать у (л—1) (л— 2) способами. Соответственно этому
число алгебраически независимых компонент второго типа равно
Wn = Ie(H-I) (л-2). (11.51)
Циклические тождества и в этом случае не уменьшают их числа.
В компонентах третьей группы все четыре индекса различны. Поэтому первую пару индексов можно выбрать
