Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Перестановочное соотношение для ковариантного дифференцирования ковариантных векторов имеет вид:
Ai, tk — A,, kl =—Aa. (11 26)
Левые части в (11.25) и (11.26) преобразуются как тензоры. Следовательно, правые их части тоже являются тензорами. Из произвольности множителей A1 и А следует,
что RnJ! сами являются компонентами тензора. Тензор
RikL = гaUtk- Г?*,,-IM + ВД (11.27)
называется тензором кривизны (тензором Ри-мана-Кристоффеля)').
Свойства тензора кривизны. Тензор кривизны определяется аффинной связностью. Однако некоторыми свойствами симметрии он обладает только при том условии, что коэфициентами аффинной связности являются символы Кристоффеля (11.3), определяемые метрикой. Рассмотрим сначала те свойства тензора кривизны, которые не зависят от связи Т\к с метрикой.
1) Тензор Rik* антисимметричен относительно индексов і и k
Rik"+ Rm" = 0. (11.28)
Выражение (11.27) удовлетворяет этому соотношению независимо от свойств симметрии rjk.
Ч В этой книге приняты индексные обозначения Леви-Чи-вита. К сожалению, не существует общепринятого правила написания индексов в тензоре кривизны. Многие авторы пишут наш последний индекс на первом месте, наш третий индекс — на втором, а наши первый и второй индексы — соответственно, на третьем и четвертом местах. В дальнейшем мы строго будем придерживаться обозначений, соответствующих (11.27). Если коэфициенты аффинной связности симметричны в своих нижних индексах, тензор кривизны обладает еще одним свойством симметрии и, кроме того, удовлетворяет ряду дифференциальных тождеств.
2) Сумма компонент тензора кривизныг получающихся при циклической перестановке первых трех индексов, равна нулю
Rikt. Л-Rki" + Riik.= 0. (11.29>
Доказательство производится непосредственным вычислением выражения (11.29).
3) Получим дифференциальные тождества следующим образом. Ковариантно продифференцируем соотношения (11.26) по новым координатам
Ar. ш -ArtMi = - RiksaJ An — Rtksn An,,, (11.30)
произведем циклическую перестановку индексов i, k, I и сложим. В результате получим:
И«; Ikt — As; Ilk) + И«; kit — As, kit) + (Asi Uk — As, ,ki) = = — Aa (Rtk.г?Rk'.s.-,t + Rus"k) — — (Riks". An,, Aa,t -f- RUsa An;k).
(11.31)
Все скобки слева представляют собой левые части перестановочных соотношений для ковариантного дифференцирования. Как легко показать, эти перестановочные соотношения для ковариантного тензора второго ранга имеют вид:
BtmiIk-Blm;k{ = — R,k"Bnm — RtkmttBln. (11. 32)
Применяя этот закон ко всем скобкам в левой части (11.31), получим, например, для первых из них:
Ar, ш — As, iik = — Rkis.AnJ / — Rki"As, п- (И .33)
При подстановке этого выражения в (11.31) первый член правой части (11.33) сократится со вторым членом послед- них скобок правой части (11.31). В силу (11.29) второй член в правой части (11.33) сокращается совместно с членами, получаемыми из только что указанного путем циклической перестановки. В результате получаем:
Aa (Rlks"+ Rklsn., + RUsn.,k) = 0. (11.34)
Вектор An здесь произволен, поэтому тензор кривизны должен удовлетворять следующим тождествам:
Rlk", /+Яш. a + Riisn-,*=О. (11.35)
которые называются тождествами Бьянки.
Ковариантная форма тензора кривизны. До сих пор
мы не вводили метрики. Если метрика определена и T1ik связаны с нею уравнениями (11.3), тензор кривизны удовлетворяет еще дополнительным алгебраическим тождествам. Полностью ковариантный тензор кривизны получается опусканием индекса п в уравнении (11.27):
Riklm = RikUgmn- (11.36)
Этот ковариантный тензор кривизны может быть выражен через „символы Кристоффеля первого рода", которые получаются из коэфициентов аффинной связности } умножением на gls:
[ib, Г\ =g„ {Д} =у (ft,,, + ft,, * —ft*,,). (11.37) Первый член в RikIm может быть записан в виде:
gmn {"'},»=["» mIk- {«}&,„,* =
= [//, m]tk — {"•} ([nk, m}-\-[mk, и]).
Подставляя эти выражения в уравнения (11.36), получим Rwm ['<'¦ m]!k- [Ik, m],, + g»([mi, г} [Ik, s] —
— [mk,s][li,r]). (11.39)
(11.38) Записав ковариантный тензор кривизны в таком виде, можно убедиться в том, что к тождествам (1) и (2) можно добавить еще два алгебраических тождества.
4) Ковариантный тензор кривизны антисимметричен в своих последних двух инд е-
к с s x*
Ъыт+Raml = <П-40>
Действительно, скобки в (11.39), очевидно, антисимметричны по отношению к т и I. Первые же два члена содержат только следующую комбинацию вторых производных компонент метрического тензора
[И, т]л — [Ik, т\( = ^[(gmi,lk — g„, mk)+(g!k, mi—Smk,«)].
Это выражение также антисимметрично по отношению к ти/.
5) Ковариантный тензор кривизны симметричен относительно перестановки обеих его пар индексов:
Rim^Кш* (11-41)
Это соотношение проверяется так же, как (11.40).
В оставшейся части этой главы мы будем рассматривать только метрические пространства, коэфициенты аффинной связности которого определяются формулой (11.3).
Свертывание тензора кривизны. При помощи свертывания из тензора кривизны можно получить тензоры более низкого ранга, а именно, следующие тензоры: Rid,>Rtbi*R м. 8і1, RikL gkl; все остальные свернутые тензоры равны нулю в силу антисимметрии Rlktm относительно индексов (i, k) и (/, т).
