Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бергман П.Г. -> "Введение в теорию относительности" -> 54

Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.

Бергман П.Г. Введение в теорию относительности — Иностранная литература, 1947. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuotnositelnosti1947.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 91 >> Следующая


¦Фиг. 9. Интегрируемость аффинной связности. В (а) аффинная связность интегрируема, в (b) — нет.

и формы замкнутой кривой, аффинную связность называют интегрируемой. В этом случае говорят также о „дистанционном параллелизме"; это означает, что при параллельном переносе вектора из точки P1 в точку P2 составляющие полученного вектора не зависят от выбора кривой, связывающей эти точки. Если аффинная связность интегри- руема, задание вектора в одной точке определяет полное поле параллельных векторов во всем пространстве.

Эвклидовость и интегрируемость. Если коэфициенты аффинной связности определяются метрическим тензором при помощи уравнений (11.3), можно показать, что эвклидовость пространства находится в непосредственной связи с интегрируемостью аффинной связности..

Если пространство эвклидово, можно ввести декартову систему координат, в которой компоненты метрического тензора постоянны:

gik = ««. (11-4)

Согласно уравнениям (11.3), в такой системе координат i/'ftl равны нулю, да'и Sbi, согласно (11.2), также обращаются в нуль. Параллельные векторы в этом случае имеют одинаковые составляющие во всех точках; такая аффинная связность является, конечно, интегрируемой. Интегрируемость по определению есть инвариантное свойство аффинной связности, не зависимое от выбора системы координат. Таким образом, аффинная связность эвклидова пространства всегда интегрируема.

С другой стороны, покажем непосредственным построением, что, если аффинная связность (11.3) интегрируема, всегда можно ввести декартову систему координат. Для того чтобы это положение было справедливо, требуется некоторое обобщение определения эвклидова пространства. До сих пор мы определяли эвклидово пространство, как такое пространство, в котором при помощи вещественного преобразования координат можно ввести систему координат с постоянными коэфициентами метрического тензора glk, равными btk. Согласно такому определению четырехмерное пространство Минковского неэвклидово. Основное различие между эвклидовым пространством и пространством Минковского заключается в том, что в первом квадратичная форма дифференциалов координат положительно определена;

ds2 = (Ixfixl Ss 0 (11.5) при произвольных вещественных значениях dxt. В пространстве Минковского с квадратичной формой

= (dX*)* — 1 dx' dx1 (11.6)

dx3 может принимать и положительные, и отрицательные значения, соответственно чему интервал будет „пространственно-подобным" или „временно-подобным" (см. главу IV). В силу этого невозможно при помощи вещественного преобразования координат перейти от (11.5) к (11.6).

Формы (11.5) и (11.6) однако очень похожи друг на друга по своим аналитическим свойствам. В конце главы V

указывалось, что символ > соответствующий метри-

ческой форме (11.6), равен нулю: компоненты параллельно перенесенного вектора в этом случае постоянны, а параллельный перенос „интегрируем". Вообще говоря, это справедливо всегда, когда в пространстве можно ввести систему координат, в которой компоненты метрического тензора постоянны. Такое пространство будем называть плоским. Плоские пространства представляют собой более общий класс по сравнению с эвклидовыми, так как в них метрика не должна быть обязательно положительно определена.

Имея в виду сказанное выше, можно утверждать, что если параллельный перенос, определяемый у р а в не н и я м и (11.2) и (11.3), интегрируем, пространство является плоским, другими словами, вэтом случае существует система координат, в которой метрическая форма имеет вид:

ds2 = 23 sfix1 dx', Si = ± 1 • (11.7)

Доказательство проведем в две стадии. Если коэфициенты аффинной связности симметричны в своих нижних индексах, в силу интегрируемости аффинной связности можно построить систему координат, в которой коэфициенты аффин- «ой связности равны нулю. Это обстоятельство не зависит от существования метрики и будет доказано без помощи уравнения (11.3). Далее, если метрика определена, обращение в нуль эквивалентно постоянству компонент

метрического тензора.

Рассмотрим п линейно независимых ковариантных век-

s

торов Ь, в точке P (п — число измерений пространства). В силу линейной независимости они должны удовлетворять неравенству

д = ф 0, (11.8)

где Jfi'"1* контравариантная тензорная плотность Леви-

Чивита. Сместим теперь эти л векторов bt вдоль одного и того же отрезка пути. Изменение А будет равно

1 2

M=^--MIW*,.А+ • - • +iy,,,.. л]«*=

= к...ьіп[ькі>-1»ґі3+... +3',..?] г?.

(11.9)

Это выражение можно значительно упростить. Прежде всего, скобки справа антисимметричны во всех индексах I1... ia. Так, например, если поменять местами Z1 и /г, скобки переходят в

8*'1" ¦'» ГІ + • -? +...+8"'-?= I = -^'*-?+ 8*'""?+ ... +8''''-*?.] (ПЛ0)

Далее, k может принимать только те же значения, что и смещенные индексы is, так как для всех остальных значений компоненты тензорной плотности Леви-Чевита обращаются в нуль. Поэтому квадратные скобки в уравнении (11.9) можно заменить выражением

6*'-"?+ ... -*?=*'-?, (11.11) а само уравнение (11.9) перейдет в
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed