Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Если невозможно введение системы координат, в которой Компоненты метрического тензора принимали бы постоянные, наперед заданные значения, то метрический тензор сам становится частью поля, и в этом случае должны существовать уравнения поля, ограничивающие и до некоторой степени определяющие функциональную зависимость g ч от четырех мировых координат.
Каков же физический смысл этого тензора поля g ? Рассмотрим область пространства, в которой гравитационное поле отсутствует. Если ввести неинерциальную систему координат, то относительно нее будут ускоряться свободные тела, несмотря на то, что они движутся вдоль прямой мировой линии. Если выразить закон инерции в произволь- ной криволинейной системе координат, то согласно (5.99), уравнениями движения будут
Т —{,'.}««* <|09>
где {(^e I линейны относительно первых производных g^:
{t * } = T ** <е* - + «*. - 1 <! 0Л0)
Тензор ^jtv фигурирует здесь, как потенциал „инерци-ального поля". Поэтому разумно предположить, что в гравитационном поле компоненты g также являются потенциалами, определяющими ускорения свободных тел; другими словами, g являются потенциалами гравитационного поля. Эти гравитационные потенциалы должны удовлетворять дифференциальным уравнениям, подобным четырехмерным уравнениям Лапласа и Пуассона. Ниже мы убедимся в том, что существует только один класс уравнений такого типа, ковариантный относительно общего преобразования координат.
Как бы то ни было, мы увидим, что пространства, с которыми имеет дело теория гравитации, не являются „квази-эвклидовыми", т. е. в них не могут быть введены инерциальные системы координат. Прежде чем продолжить изучение гравитационных полей, необходимо более подробно, чем это было сделано в главе V, изучить геометрию римановых пространств. В частности, необходимо найти математический критерий, определяющий, является ли пространство эвклидовым или нет. Глава Xl
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ
*
Характерные особенности римановых пространств.
Согласно определению, данному в главе V, эвклидовыми пространствами называются такие пространства, в которых можно ввести декартовы координаты; все остальные пространства не являются эвклидовыми.
Даже если нам известно, что в некотором частном случае компоненты метрического тензора являются известными функциями координат в некоторой системе координат, все же и в этом случае немыслимо перебрать все возможные преобразования координат, чтобы выяснить, не приводит ли какое-либо из них к декартовой системе. Поэтому необходимо найти подходящий критерий, который всегда давал бы возможность определить, является ли пространство эвклидовым или же нет.
Неэвклидовы пространства, с которыми мы обычно имеем дело, представляют собой двумерные кривые поверхности, которые можно рассматривать как подпространства в обычном трехмерном пространстве. Казалось бы, что геометрические свойства этих подпространств нельзя рассматривать вне связи с пространством, в которое они вложены. В действительности же это не так, по крайней мере по отношению к вопросу об эвклидовости или неэвклидовости пространства. Выберем, например, в качестве поверхности плоский лист разграфленной бумаги. Линии на бумаге представляют декартову систему координат, так что эта плоскость без сомнения является эвклидовой поверхностью. Изменим теперь связь этой поверхности с трехмерным пространством, свертывая лист бумаги; линии на нем будут при этом попрежнему образовывать декартову систему координат. Как до, так и после свертывания бумаги рас- стояние между двумя бесконечно близкими точками на листе определяется уравнением
fite2 = fif -f-fify2.
Иначе говоря, метрический тензор имеет следующие компоненты:
ft* = «*- (ИЛ)
Более того, линии, образовавшиеся из прямых в результате свертывания, остаются кратчайшими линиями, которые можно провести между двумя точками, не выходя за пределы двумерного подпространства.
Эвклидов характер пространства зависит только от метрики. Необходимо, таким образом, найти метод, при помощи которого можно было бы отличить эвклидову метрику от неэвклидовой.
Интегрируемость аффинной связности. Чтобы найти такой метод, вернемся к понятию параллельного переноса вектора, введенному в главе V. Параллельный перенос вектора вдоль кривой при коэфициентах аффинной связности Г'* возможен единственным способом в соответствии со следующими дифференциальными законами:
^=+W?. J (П-2)
Метрический тензор gik определяет частный вид аффинной СВЯЗНОСТИ I^l , где
{/ft}=Igls te*. *+g**> < - ft». J- (11 -3)
Если коэфициентами аффинной связности являются символы Кристоффеля, результат параллельного переноса вектора не зависит от того, применяются ли законы (11.2) к его ко-вариантным или контравариантным компонентам. Будем параллельно переносить вектор вдоль замкнутой кривой (фиг. 9), пока не вернемся в исходную точку. При этом перенесенный вектор либо будет совпадать с исходным, либо будет от него отличаться. Если получается тот же самый вектор независимо от выбора исходного вектора
