Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1J См., например, А. Sommerfeld, Atomic Structure and Spectral Lines, Annex, или П. Бриллюэн, Атом Бора, гл. VIII, ОНТИ, 1935. f V — a + 2Bjr — Clr* dr = 2тт ^L — Kc j, (9.36)
где A1 В и С — положительные постоянные. Подставляя их значения из уравнений (9.34), (9.35), найдем
J ""('+? -Ml/1^)-^ №»>
1/-^(1+? К "Ч
Решая это уравнение относительно W, получим формулу тонкой структуры Зоммерфельда:
= 2<яг+ ntf ^ I1 + (Яг + (?+ І) + '' '} _
Волны де Бройля. После Бора и Зоммерфельда следующий шаг в направлении развития строгой квантовой теории был сделан де Бройлем. Он предположил, что движение частицы вдоль траектории связано с распространением волн. Если траектория частицы замкнута, как, например, в атоме водорода, волны интерферируют между собой. Если на траектории умещается целое число длин волн, волны взаимно усиливаются. В противном случае они гасятся. Те траектории, вдоль которых волны усиливают друг друга, и являются „разрешенными" орбитами теории Бора-Зоммерфельда.
Рассмотрим свободную частицу, покоящуюся в некоторой системе координат S. Пусть ее масса покоя и энергия покоя будут соответственно равны т и тс3. Мы не можем связать с этой частицей распространяющуюся волну, так как нет никаких данных, благодаря которым было бы выделено определенное направление распространения. Однако частице можно сопоставить частоту v в соответствии с законом Эйнштейна
? = Av, (9.39) так что частота покоящейся частицы будет равна
V = (9.40)
Волна де Бройля может быть представлена в виде «волновой функции"
ф = фвел'* (9.41)
Произведем теперь преобразование Лорентца (4.13), (4.15). Энергия и импульс частицы в системе даются выражениями:
*__OTP * 4_ ft
= Py = Pz = 0'
Е* тс
, (9.42)
УI — V2Ic1 '
Далее преобразуем волновую функцию ф. Предположим, что ф— скаляр. В этом случае ее зависимость от координат определяется формулой:
ф = фо-ехр
1 -V2Ic2 )
2™У) -„.Л- (9-43)
Частота и длина волны имеют значения
_ оте8//» _Е*
(9.44)
\\ -V2Ie2 V 1 — V2Ie2 А
»•=? 1^=3-? <мч
Найдем скорость распространения в пространстве плоской гармонической волны де Бройля; эта скорость равна произведению частоты на длину волны:
« = уП* = р = ?. (9.46)
Эта скорость, так называемая фазовая скорость, превышает с\ ее произведение на v равно с2. Поскольку фаза волны де Бройля не может быть использована для передачи сигнала, уравнение (9.46) не противоречит основам теории относитель ности. Рассмотрим, с другой стороны, волну де Бройля, не являющуюся строго гармонической, но состоящую из двух гармонических волн почти равной частоты. Амплитуда результирующей волны не будет постоянной, ее максимумы и минимумы будут двигаться в пространстве с некоторой скоростью, называемой «групповой скоростью". Определим эту групповую скорость wg. Запишем составляющие волны в виде
ф = 4>о exp I 2ти ^v/ — I
и
ф=ф0ехр|2я/^ — ^J, v = v + 25v, Х = І + 28Х. Результирующей волной будет
ф = ф0[в V Jjre \ ^J. (9.47)
Квадратные скобки можно преобразовать с помощью соотношения
el«-= e 2 ^e 2. Jre 2 J=2C0S^.e 2. Тогда имеем
Ы !"(',+8,),-^*] ф = 2ф0соз |~2л ^v-H-й-е L (9.48)
Отсюда скорость распространения амплитуды равна
w —
8 Sl '
или, рассматривая Sv и Sl как дифференциалы'),
і) Формула (9.49) является, как известно, общим выражением для групповой скорости, получаемым не только в результате рассмотрения двух волн, а путем исследования распространения некоторого волнового пакета (см., например, A. M а р х, Основы квантовой механики, ГТТИ (1943). (Прим. ред.) Ip E
В волне де Еройля у равно pa v равно . Поэтому
для групповой скорости получим:
W=fp. (9.50)
Далее, E и р связаны соотношением
?2—^ = т2с4, (9.51)
С'
согласно которому абсолютная величина вектора энергии-импульса равна энергии покоя. Из
E = у Ot2C4 + ^
находим, что
(9-52)
т. е. скорости частицы. Таким образом, групповая скорость волны де Бройля равна скорости частицы.
Задачи
1. Найти скорость электронов и протонов, ускоряемых разностью потенциалов 3.108 вольт.
2. а) Считая, что ускоряющий потенциал V в уравне.
нии (9.9) настолько мал, что мало в сравнении с единицей, написать приближенные уравнения, дающие к классическим уравнениям релятивистскую поправку второго порядка относительно —. б) Считая V настолько большим, что и близко к с, найти приближенное соотношение, определяющее разность между и а с как функцию разности потенциалов V.
3. Зная радиус кривизны траектории в камере Вильсона, найти скорость и энергию частицы, если ее масса и заряд известны.
4. Найти приближенное соотношение между энергией и импульсом частицы, движущейся со скоростью, близкой к скорости света. Такое условие выполняется для частиц в космических лучах. Часть II
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
* Глава X
ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ *
Введение. Специальная теория относительности возникла при развитии электродинамики. Общая теория относительности является релятивистской теорией гравитации.
