Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В силу (8.16) первый член в скобках обращается в нуль, а во втором члене U* равно единице, так что можно записать
Таким же образом в (8.13) можно преобразовать член -i- urJ". Тогда получим:
І "^ = 7(^==-(^ =
= + (^"),, = *4%- <819)
После этого (8.13) и (8.14) принимают вид:
р, 4+ (р«* +'«•)„ = O1 (8.13а)
(р + і+ ''',,=/'. (8.14а)
Как уже указывалось, U* равно единице, а его первые производные равны нулю. Поэтому замена Ui на U1 и умножение некоторых членов на Ui меняют только форму уравнений:
(р ?/4?/4)u + (р UW + t*% = 0, (8.136)
(р ІЛЛ+ + Л (8.146) Осталось еще только показать, что в первой скобке уравнения (8.136) можно прибавить і44 и /' заменить мировым вектором /'.
Согласно уравнению (8.16) компонента ^44j4 может быть следующим образом выражена через другие компоненты:
^4 - WiiU = - (Ust*% = -1 (a*t*%. (8.20) о
И Aj iiff исчезают в Р, поэтому производная от UsPi также обращается в нуль. В связи с этим в уравнении (8.136) к выражению (рUi(Ji)4 можно прибавить ^44j4, не меняя значения первого члена.
По правой части уравнений (8.136; и (8.146) определяем
о
мировой вектор /р, компоненты которого в системе P в точке о
5 равны (/',0). Он удовлетворяет ковариантному уравнению
PU= 0. (8.21)
После этих изменений (8.136) и (8.146) можно объединить в четырехкомпонентный ковариантный закон
= (8.22)
Тензор Р<** преобразуется, как контравариантный тензор, и его дивергенция является поэтому контравариантным вектором.
Рассмотрим вкратце физический смысл тензора P** в
о
системе координат, отличной от S. Произведем преобразование Лорентца наиболее простого типа, соответственно уравнениям (4.13), т. е. совершим переход к системе координат, в которой среда движется вдоль оси X со скоростью v. В этой системе координат компоненты тензора PPy имеют вид: р*
~ I-V11Jc2 ' tu
р* 12-
V 1 - V2IC2 '
Р* 13-.
*13
у 1— V2Ie3
р*2ї_?22) р*23 р* 38-^33^
р*14 _ . р*а4 _
P* + ^11
1 — V2/^ '
V fi2 ' с2 1 - V2Ic2 '
р*34- --
flS
c2 1 — V2Ic2'
Р* 44-
г+2-
1 — V3Ic2 '
(8.23)
Полная энергия свободно движущейся частицы превышает ее энергию покоя в (1—U2IC2)-1'2 раз. Рассматривая вместо энергии плотность энергии, нужно принять во внимание, что объем, содержащий заданное число молекул, при движении испытывает сокращение в (1—u2lc2)W раз. Оба эффекта вместе приводят к тому, что полная плотность энергии (а потому и плотность массы) превышает плотность энергии покоя (или плотность массы покоя) в (1—U2Ic2) _1 раз. [В нашем случае и равно (—?).] При этом рассуждении не принимались во внимание напряжения, вызывающие движение среды, однако оно поясняет в основном, почему р в уравнениях (8.23) везде умножается на (1 -U2Ie2)-!.
Что касается компонент Pn (без индекса 4), то они содержат trs, умноженные на различные степени выражения (1 — u2ic2)—112, и „релятивистскую плотность массы* (1—U2Ic2)-1'р, умноженную на «'в*.
Компоненты Pri остаются компонентами плотности импульса; как указывалось выше, плотность импульса содержит члены, обусловленные наличием напряжений. Pii продол- жает представлять собой плотность энергии. Член, обусловленный напряжениями, квадратичен относительно скорости среды.
Так же как в классической гидродинамике, система полностью определена, только если тензор P^ задан. Вернемся к случаю идеальной жидкости. В специальной сис-
0
теме координат 5 тензор P^ имеет компоненты,
PMl
\ о РГ
иначе говоря, скалывающих напряжений нет, и давление изотропно. При преобразовании Лорентца P** переходит в
" Pt* = pCW — 4 (if — LW1O р =
/ 1 \ 1 <8'24>
где р и р связаны друг с другом и с температурой уравнением состояния жидкости.
Pи-* обычно называют тензором энергии-импульса. В нашем частном случае он специализирован в том смысле, что его компоненты Pri обращаются в нуль в специальной системе координат. Пользуясь языком алгебры квадратичных форм, можно сказать, что U1 является собственным вектором матрицы Р\х, ар — ее соответствующим собственным значением. Это не общее свойство тензора энергии-импуль-са; Ui — собственный вектор матрицы P1 л только, пока рассматривается перенос энергии посредством механического взаимодействия. Перейдем теперь к рассмотрению электромагнитного взаимодействия, где U1 уже не представляет собой собственного вектора матрицы Р\х.
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля. В предыдущей главе было показано, что действующая на
dU9
заряженную точечную массу мировая сила т , согласно
(7.49), равна ^ где <р1я — (смешанный) тензор поля. Предположим теперь, что рассматриваемая в этой главе сплош- ная среда содержит заряженные частицы, например электроны, и в таком количестве, что полем каждой частицы в сравнении с общим полем можно пренебречь. Можно
принять <рр- „ за среднее полное поле в окрестности рассмат-
о
риваемой частицы. Пусть, далее, элемент объема dV по-о
коится в S. Обозначим через в собственную плотность зарядов заряженных частиц, т. е. плотность заряда в систе-1
