Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1J «ш —тензорная плотность Леви-Чивита. Таким образом, для плотности силы получаем:
^=/'-*'%. (8.10)
Сравнивая последнее уравнение с (8.5), получим нерелятивистские уравнения движения:
+ (8.11)
Эти три уравнения вместе с уравнением непрерывности (8.1) определяют поведение сплошной среды под действием напряжений и других сил.
Кроме того, существует закон сохранения энергии, согласно которому изменение энергии в элементе объема определяется балансом потока энергии, протекающего через этот элемент.
Поведение механической системы может быть полностью определено только в том случае, если известны tik и /'. Объемные силы определяются внешними условиями, скажем, наличием гравитационного поля, в то время как напряжения зависят от внутренних деформаций или от потока материи. Например, в случае идеальной жидкости tik равно давлению рУ умноженному на тензор Кронекера iik. Само давление р является функцией плотности р и температуры, которая определяется из уравнения состояния жидкости. Нет необходимости определять компоненты напряжения, так как нас будут интересовать только их трансформационные свойства.
Специальная система координат. Для того чтобы получить лорентц-ковариантные законы, введем сначала
о
специальную систему координат S, в которой среда по-
о
коится в мировой точке Р. В этой мировой точке уравнения находятся особенно просто,так как все классические члены, в которые скорость входит не под знаком дифференциала, равны нулю. Первые производные от и' равны при этом первым производным от Ui, а первая производная от U* исчезает. Сама компонента Ut равна единице. Поскольку среда неподвижна, ее полная плотность энергии есть плот- ность энергии покоя и равна плотности массы с3, умноженной на р. Единственные изменения, которые нужно внести в классические законы, обусловлены релятивистской связью потока энергии с импульсом. Поэтому поток энергии должен рассматриваться во всех законах сохранения.
Сформулировав законы в специальной системе координат, мы придадим им форму тензорных уравнений.
Вначале рассмотрим перенос энергии, обусловленный движением среды только под действием механических напряжений. В дальнейшем мы распространим наш формализм также и на электромагнитное взаимодействие. Имея в виду это ограничение, сформулируем сперва закон сохранения энергии.
Изменение полной энергии, содержащейся в некотором объеме, определяется количеством энергии, втекающей в данный объем и вытекающей из него. Благодаря релятивистскому соотношению между энергией и массой поток энергии представляет собой не что иное, как плотность импульса, умноженную на с2. Последняя состоит из двух частей: во-первых, мы имеем произведение плотности массы на скорость, р а; во-вторых, к нему прибавляется поток энергии, создаваемый напряжениями. Рассмотрим ориентированную бесконечно малую площадку dk. С обеих ее сторон на среду действуют силы, равные: trsdAs — с той стороны, куда направлена нормаль, и (— t"dAs) — с другой стороны. Если среда в окрестности этой поверхности движется со скоростью U1 то работа, производимая на одной стороне, равна urtrsdAs, а на другой, соответственно, (—urtrsdAs). Количество энергии, полученное одной стороной, равно количеству энергии, потерянному другой; другими словами, имеет место поток энергии через поверхность, а компонентами вектора этого потока являются urtrs. Соответствующая ему плотность импульса меньше в Ci раз. Таким образом, полная плотность импульса равна:
Я'= Pи'4-Х urt".
(8.12) о
В точке P оба члена равны нулю, однако этого нельзя сказать об их производных. Для закона сохранения энергии получаем уравнение
или
p.*+P e'^+J5-Brif^=O. (8.13)
Подобным же образом можно написать уравнение, связывающее изменение плотности импульса во времени с плотностью сил. При нашем выборе системы координат в
о
точке P нет разницы между .частными* и ,полными" производными. Таким образом получаем:
p^+« V+ <",,=/'. (8-Ю
Уравнения (8.13) и (8.14) заменяют нерелятивистские уравнения (8.1) и (8.11).
Тензорная форма уравнений. Мы уже не раз убеждались, что релятивистские законы часто отличаются от классических только тем, что трехмерные векторы н тензоры заменяются соответствующими четырехмерными. Например, трехмерный импульс ти должен быть заменен мировым вектором mUтрехмерный антисимметричный тензор Hma — антисимметричным мировым тензором ip и т. д. Из нерелятивистских уравнений (8.11) видно, что в релятивистских уравнениях должен играть важную роль симметричный тензор второго ранга; он состоит из двух членов: первый соответствует нерелятивистскому члену р а'ик, а второй tik. В согласии с этим мы введем сначала симметричный мировой тензор Iny имеющий в специаль-0 о
ной системе S в точке P следующие компоненты:
(8.15)
X О, Oj- ; Это означает, что он удовлетворяет ковариантным уравнениям
*»?/,= 0. (8.16)
С помощью этого мирового тензора можно иначе представить член -Jj иг,4trt из (8.14). Именно:
-L Urii ^=^(^),4=(-^0.4=(^'' + ^4^).4-(8.17)
