Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Это уравнение идентично с (7.7).
Уравнения поля Максвелла лорентц-ковариантны, если входящие в них величины отождествить указанным выше способом с компонентами мировых векторов и мировых тензоров. Прежде чем перейти к рассмотрению выражения для пондеромоторных сил, мы коротко остановимся на вопросе о физическом смысле законов преобразования.
Физический смысл законов преобразования. Запишем закон преобразования тензора <р,х:
Вместо того чтобы рассматривать наиболее общие преобразования Лорентца (которые могут включать и пространственные ортогональные преобразования), ограничимся вибором специальной совокупности коэфициентов Yftl, а именно совокупности коэфициентов в уравнениях (4.13). Тогда уравнения (7.22а) перейдут в уравнения преобразования вида
(7.21)
«Р*1" = T1YVP''.
(7.22)
Разделяя компоненты H и Е, получим
^mn = Vi Vk tPrt + (ViVc-TtH V <р'4> f*M=Vi Tk <р'*+(Vi Ti—Vi Ti) <?и-
I (7.22а)
=(1- ViIci)-'1' (<р12 + ту4), (р*13 = (1 — ViI с1)-*!' (<р18 + Vf4),
,#28-«-23
(р*14 = <р14,
(7.226)
?*84 = (1 — VtjCi)-'!' (tf>M — ? <р") . Вводя Es и Hs согласно (7.17а), получим:
^3 = 0-^)-^(^3-7^).
/5 = (1-^-^(//.+7*,).
Htl = Hv Е* — E
Е*2 =(I-^)-V. (E2-^W8)1
= -*,*¦)-%(?, + ?//,).
Члены, содержащие Н, в преобразованном E (и обратно) пропорциональны vjc. Компоненты H и E в направлении v совсем не преобразуются.
Эти законы преобразования тесно связаны с законами Ампера и Фарадея. Рассмотрим точечный заряд, покоящийся в системе координат S. В системе S*, движущейся относительно S, будет наблюдаться магнитное поле, равное векторному произведению напряженности электрического поля на скорость частицы в системе S*, 1
умноженному на —.
С другой стороны, рассмотрим магнитное поле, создаваемое постоянным магнитом, покоящимся в системе S. При переходе к новой системе S* обнаружится электрическое поле,
напряженность которого равна умноженному на векторному произведению скорости магнита (в системе S*) на напряженность магнитного поля. Интеграл от E по замкнутому контуру, вообще говоря, не равен нулю.
Перейдем к рассмотрению законов преобразования I и а. Пусть материальное тело конечных размеров с равномерно распределенным объемным зарядом покоится относителььно системы S. Если объем тела V0 и плотность заряда о0, то полный заряд С равен
C=F0J0. (7.23)
(7.22в)
/ Произведем теперь преобразование Лорентца (4.13). Благодаря лорентцову сокращению в ^-направлении полный объем тела в 5* будет:
V* = ]/1 — V0. (7.24)
Плотность заряда в свою очередь преобразуется как четвертая компонента контравариантного вектора. В системе 5 ток равен нулю, и поэтому
ff» = YVo = 0 — (7.25)
Произведение V на о остается неизменным; иначе говоря* заряд С является инвариантом.
Плотность тока имеет в системе 5* одну компоненту/*1:
/* і = YVO = — (1 — VtIc*)-'!' WJ0 = — ш\ (7.26)
Таким образом, плотность тока равна произведению плотности заряда на скорость. Поэтому релятивистский закон преобразования для о и I согласуется с электронной теорией Лорентца, согласно которой всякий ток представляет собой движение зарядов.
Градиентное преобразование. Из так называемой второй серии уравнений Максвелла, т. е. из четырех уравнений (7.19), следует существование мирового вектора потенциала <pt, ротором которого является тензор поля <ри. Одна ко при заданном электромагнитном поле мировой вектор потенциала определяется неоднозначно. К мировому вектору tpt, удовлетворяющему уравнению (7.18), можно прибавить произвольное
градиентное поле Ф>(; сумма
= + (?-27>
будет попрежнему удовлетворять уравнениям (7.18), левые части которых останутся неизменными. Это преобразование мирового вектора потенциала путем прибавления градиента называется градиентным преобразованием.1) Гра-
1) Иногда пользуются терминами »калибровочное" преобразование и .калибровочная* инвариантность. (Прим. ред.) диентное преобразование, конечно, не имеет ничего общего с преобразованием координат. Ни тензор поля tpix, ни мировой вектор плотности тока Г не изменяются при градиентных преобразованиях. Говорят, что эти величины и уравнения Максвелла (7.19) и (7.20) обладают градиентной инвариантностью.
Уравнения движения. Мы не можем непосредственно измерять электромагнитные поля. Мы наблюдаем только силы (т. е. ускорения), действующие на заряженные частицы. Поэтому, чтобы связать уравнения поля с непосредственными физическими наблюдениями, необходимо знать законы, определяющие поведение заряженных частиц. Классический закон устанавливает, что сила (сила Лорентца), действующая на частицу, равна:
тй = е [Е + уХн] , (7.28)
где и — скорость частицы, а X означает векторное произведение. E и H представляют собой напряженности электромагнитного поля, из которого исключено поле, создаваемое самой частицей. Это последнее имеет, конечно, особенность').
В компонентах (трехмерных) это уравнение записывается так:
OTui = e[Et + - UrNsrJ, и*=х* (7.29)
!) Как в классической теории поля, так и в специальной теории относительности в уравнениях движения принимается во внимание только та часть поля, которая не обусловлена рассматриваемой частицей. Такое разделение поля неудовлетворительно, в особенности из-за того, что подобное разделение поля не является однозначно определенной математической операцией. Только общая теория относительности подводит нас к формулировке законов движения, в которые входит полное поле (см. главу XV).
