Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Мировой тензор второго ранга Vtx подобным же образом можно разложить на трехмерный тензор, два трехмерных вектора и трехмерный скаляр:
(7.9)
Vi = CikVk, Vi=V*.
(7.10)
(7.11) Если мировой тензор Vn симметричен, трехмерный тензор будет также симметричен, а оба вектора будут равны друг другу. Если тензор Vix антисимметричен, трехмерный тензор также будет антисимметричным (и поэтому эквивалентным «аксиальному вектору»), векторы будут равны и противоположно направлены, а скаляр равен нулю. Ковариантные векторы и тензоры могут быть разложены подобным же образом.
Четырехмерные ковариантные операции и уравнения могут быть разложены таким же образом, как мировые векторы и тензоры разлагаются на трехмерные тензоры, векторы и скаляры. Обозначим две составные части мирового вектора V1 через V1 и v. Дивергенция V1 равна
Аналогично части, на которые раскладывается тензор Vn, обозначим через vlv Vp Vk и V.
Дивергенция такого тензора Wi может быть разложена на, W1 и w.
Система уравнений
w= v»ii = v<j + vf4 = dlvv + f. (7.12)
1 2
ІЛ* — W1
)*
(7.13)
тогда разложится на две системы:
(7.13а)
Если мировой тензор Vllt антисимметричен, эти уравнения могут быть записаны так, что будут содержать только векторы. Вместо трехмерного антисимметричного тензора Vjk можно ввести «аксиальный вектор» ts при помощи соотношений:
= Л. =4 (7.14)
Дивергенция тензора Vlkyk примет тогда вид:
(7-15)
Согласно уравнению (5.386) она является г-й компонентой rott. Для первой совокупности уравнений (7.13а) тогда имеем:
rott + ^v = w. (7.136)
Как уже указывалось, если Vі* антисимметричен, v рав-
2
но (— v). і
Последнее уравнение в (7.13а) поэтому принимает вид
— div \ = w. (7.13л)
Антисимметричные производные раскладываются подобным же образом. Рассмотрим ковариантный мировой йек-тор B1 с трехмерными составляющими bt, b. Его четырехмерный ротор, Cix, может быть разложен следующим образом:
cik=bk,i — bi,k,
г —h f )" (7Л6>
Ц-4 — Otl- Tt — C1.1 Задавая «аксиальный вектор» SDj уравнениями,
получим:
ф = rot b,
c = grad b-§. J" (7Л6а> Эти примеры показывают, как типичные четырехмерные соотношения распадаются на несколько кажущихся независимыми трехмерных векторных соотношений. Теперь можно перейти к рассмотрению уравнений поля Максвелла в четырехмерной форме.
Лорентц-ковариантность уравнений Максвелла.
Если H отождествить с А с b, E с — с, tp с--- Ь,
Cj' с
то уравнения (7.16а) перейдут в уравнения (7.5) и (7.6). Это означает, что уравнения (7.5) и (7.6) лорентц-ковариантны, если предположить, что А и (— ctp) преобразуются как компоненты ковариантного мирового вектора, a H и сЕ представляют шесть компонент ковариантного антисимметричного мирового тензора.
Объединение H и E в один антисимметричный мировой тензор второго ранга образует основу релятивистской электродинамики. Мы покажем, что остальные уравнения поля также совместимы с таким законом преобразования.
Обозначим ковариантный мировой вектор с компонентами (As, — ctp) через tp, и ковариантный тензор электромагнитного поля с компонентами
0, —H3, + Hv — CE1,
^8, 0, -H1, сЕ2,
- +Hv 0, C-Es,
4-CEv + CEv + cEs, 0.
через ®|Х. Уравнения (7.5) и (7.6) представляются тогда системой
Антисимметричное выражение tp[X, определяющее ротор вектора, удовлетворяет уравнениям
IW+ «Pa,.+ Vx- = O- <7Л9> Это легко проверить, подставляя выражение (7.18) в левую часть уравнения (7.19). Те из уравнений (7.19), в которых, по крайней мере, два индекса равны, удовлетворяются тождественно, независимо от того, удовлетворяет антисимметричный тензор ср1Х уравнению (7.18) или нет. Например,
Ьг,2 + Тг2,і + tP2Il3 = 0
просто из-за антисимметрии tpix. В четырехмерном мире остаются только четыре нетривиальных уравнения со следующими комбинациями индексов (2,3,4), (1,3,4), (1,2,4), (1,2,3).Подставляя выражения (7.17) в (7.19), получим уравнения (7.2) и (7.3). Таким образом, эти два уравнения эквивалентны тензорному соотношению (7.19).
Остаются еще уравнения (7.1) и (7.4). По форме они подобны уравнениям (7.136) и (7.13в). Уравнения (7.136, в) были получены как трехмерное представление дивергенции контравариантного антисимметричного мирового тензора второго ранга. Подымая оба индекса у ковариантного тензора tpix, получим контравариантный тензор
О , -с*Н3, -J- C4W2, +C3E1,
<р1Х =
+ cW3, 0 , -C4W1, +С*Е2, -CiHv + CiMl, 0 , + CaEs,
— c^j і с^Е2* с3?3, 0 *
(7.17а)
Дивергенция этого тензора имеет компоненты
dt
Ф*\ = — c3divE.
(р11 х = — с4 (rot Н), + с3 —
Правые части равны — 4т:3/,. и — 4тсс3а. Отсюда видно, что I и о совместно образуют контравариантный мировой вектор, мировую плотность тока /?, который связан с тензором поля tp'* уравнением
TixjI== — 4ттс3/'. (7.20)
Это уравнение эквивалентно уравнениям Максвелла (7.1) и (7.4). При образовании дивергенции от (7.20) левая часть исчезает тождественно из-за антисимметрии <р'\ Поэтому мы получаем одно уравнение, содержащее только компоненты /':
