Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
-Ї2 = V2 -W- Jr [{*! - + (Ь - У, )2 +
+ (*« — -г,)2]- (4.30)
Соответственно определим аналогичную величину в системе S*:
=ъ - ^)2 - h L^ - *Р2+^y 2 - /P2+
+ (Zl-Z*)*]. (4.31)
Выражая теперь в 5-переменных, согласно (4.1), (4.2) и (4.3) [аналогично тому, как это мы делали с уравнением (4.5)], получим:
^2 = ( р -C2 - M2 -Jf -^2Ys) (*. - *,)2 +
+(л ¦-Уі)*+(? - Z,)2]+2 (5 + Py) (*«-*,)&-/,).
(4.32)
Учитывая, что постоянные a, P и у подчинены условиям (4.8), легко видеть, что T12 является инвариантом по отношению к уравнениям преобразования (4.13), т. е.
тJl= Tja. (4.33)
Величина T12 инвариантна также относительно пространственного ортогонального преобразования (1.1). В дальнейшем мы будем называть все линейные преобразования, по отношению к которым Tj2 остается инвариантным, преобразованиями Лорентца, независимо от того, происходит относительное движение вдоль оси X или нет. Очевидно, что из инвариантности Tj2 следует инвариантность скорости света, так как для любых двух точек, лежащих на траектории светового луча, Tj2 равно нулю.
Каков физический смысл величины tJ2? Если существует система отсчета, по отношению к которой оба события происходят в одной и той же точке пространства, то Tis (положительный корень из tJ2) представляет собей время между этими событиями, регистрируемое часами, находящимися в покое относительно этой системы отсчета. Поэтому T1J называется интервалом собственного времени.
Всегда ли существует система отсчета, в которой два события происходят в одной и той же точке пространства? Если бы мы имели дело с классическими уравнениями преобразования, ответ был бы положительным при условии, что эти события не «одновременны». Уравнения преобразования Лорентца (4.13), однако, имеют особенность, когда относительная скорость систем отсчета равна скорости света, т. е, когда V = с. При v больших, чем с, х* и t* из уравнений (4.13) получаются мнимыми. Уравнения преобразования Лорентца определены, таким образом, только для того случая, когда относительная скорость двух систем отсчета меньше скорости света с. Поэтому если два события следуют столь быстро друг за другом, что временной интервал между ними меньше или равен времени, которое необходимо световому лучу для прохождения пространственного расстояния между этими событиями, то не существует системы отсчета, где данные события имели бы место в одной и той же точке пространства.
Рассмотрим два события, происходящих в двух различных точках пространства. Пусть в этот момент, когда происходит событие в первой точке, из нее выходит световой луч. Если этот луч достигает второй точки как раз в тот момент, когда в ней происходит событие, то интервал собственного времени T12 между этими двумя событиями равен нулю. Если же этот световой луч приходит во вторую точку уже после того, как в ней произошло событие, интервал между событиями будет отрицательным. В этом случае вместо T12 можно ввести инвариант oj2 = ~~ то есть
= (*» - хг)г + (Л -Л)' + (? - *1>8 -
— Z1)2- (4.34)
Для любых двух событий либо T12, либо O12 вещественно-Если вещественно о12, то преобразованием Лорентца можно свести t*— F1 к нулю. Другими словами, в этом случае существует система отсчета, в которой оба события одновременны. В этой системе отсчета пространственное расстояние между двумя событиями равно просто о12.
Обычно T12 или O12 выражают пространственно-временной интервал между двумя событиями. Интервал называется временно-подобным, если T12 вещественно, и пространственно-подобным, если O12 вещественно. Являются ли интервалы между двумя событиями временно-подобными или пространственно-подобными, не зависит от выбора системы отсчета или системы координат. Это есть инвариантное свойство двух событий.
Как уже указывалось, уравнения преобразования Лорентца определены нами только для относительных скоростей, меньших скорости света. Если бы система отсчета могла двигаться со скоростью, равной или большей, чем скорость света, было бы совершенно невозможно распространение света в направлении движения этой системы, тем более со скоростью с.
Релятивистский закон сложения скоростей. Возможно ли найти две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью, большей с, путем последовательного применения серии преобразований Лорентца? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим суперпозицию двух (или больше) преобразований Лорентца. Введем три системы отсчета S1S* и S**. Система S* имеет скорость v относительно S, a S** скорость w относительно S*. Найдем уравнения преобразования, связывающие S** с S. Будем исходить из уравнений:
„ x — vt
V1 — V*ICS '
t-lx
t* = 0
V\ — V2Ici ' X*-Wt*
Vi — г»!/с2'
С2
у*= у,
Z* = Z,
у** —у*
t*¦* =
Vi — Wijci'
(4.35>
Подставим первую систему во вторую. Непосредственное вычисление дает:
S_ х-at
Vi — U*jc* '
У.
Z** = Zt
У** Zi= У
t** =
а
JzZl
Vl -IfijC2'
(4.36)
»-(-а»
VW
(4.37)
Таким образом, два последовательных преобразования Лорентца эквивалентны одному преобразованию. Однако при этом относительная скорость 5** и S не равна сумме v и w. Пока vjc и Wje малы в сравнении с единицей, и близко к V -{-w; но если хотя бы одна из двух скоростей приближается к с, результирующая скорость существенно от- личается от суммы скоростей. Соотношение (4.37) может быть переписано в виде:
