Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
222
ИЗЛУЧЕНИЕ
[Гл. V
В результате в матричном элементе «запрещенного» перехода появится член
— (Ed21) d32
El — Е2 ’
отличный от нуля, если разрешены переходы из «промежуточного» состояния 2 в начальное и конечное состояния 1 и 3.
§ 52. Излучение атомов. Атом водорода
Атом водорода представляет единственный случай, в котором вычисление матричных элементов перехода может быть произведено до конца в аналитическом виде (W. Gordon, 1929).
Четность состояния атома водорода равна (—1)г, т. е. однозначно определяется орбитальным моментов электрона (напомним, что число / как определяющее четность состояния сохраняет свой смысл и для точных релятивистских волновых функций, т. е. при учете спин-орбитального взаимодействия). Поэтому правило отбора по четности строго запрещает электрические дипольные переходы без изменения /; возможны лишь переходы с /—>-/±1. Изменения же главного квантового числа п не ограничены.
Дипольный момент атома водорода сводится к радиус-вектору электрона: d = er. Поскольку волновая функция электрона в атоме водорода представляет собой произведение угловой части и радиальной функции Rul, то приведенные матричные элементы радиус-вектора тоже представляются в виде произведения
<«', /— 11[ г | nl> = </ — 1 ! v ;| /> J Rn\ i-!rRnlr*dr,
О
где </ — 1 j! v |; /> — приведенные матричные элементы единичного вектора v в направлении г. Последние равны
</ - 1 I) V || /) = </ I V || / — 1>* = i]/~I
(см. III (29,14)). Таким образом,
<я\ / — 1 \\г || nl> = — <л/| r\\n', I — 1> = i УI ^ Rn\ i-iRnlr3dr. (52,1)
О
Нерелятивистские радиальные функции дискретного спектра атома водорода даются формулой III (36,13)х)
“,7Тч§+ш /(МГЩ(2r)' (- я +.' +1, 2/ +2, §).
________________ (52,2)
!) В этом параграфе пользуемся атомными единицами. В обычных единицах написанные ниже выражения для матричных элементов координаты должны (_>ыть умножены на п2/те2 (если же речь идет о водородоподобном ионе с номером Z, то на hzlmZe2).
§ 52] ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ. АТОМ ВОДОРОДА 223
Интеграл (52,1) с произведением двух вырожденных гипергеомет-рических функций вычисляется с помощью формул, приведенных в III, § f1). Вычисление приводит к результату
<n\ I— 11!nlniy =
.,/~r (—I)"'-1 т />+/)!(«' + t — 1)! (4пп')1 + 1(п — п')п+п'-21-2 r г К ^ 4(2/— 1) ! К (;г— I — 1)! («' — /)! (n-f Х
Г (-n + l-l.-n'+1,2 (52,3)
где Т7 (а, р, у, г) — гипергеометрические функции. Поскольку параметры а, р в данном случае равны отрицательным целым числам (или нулю), то эти функции сводятся к полиномам2).
Приведем для справок выражения, получающиеся из (52,3) в некоторых частных случаях (значение I указываем спектроскопическим символом s, р, d, ...):
\Os\,r\\np}\- = — - »
I л || ч | о 2L7/;“ (п‘2—I) (п — 2)2п_6
J <2s Iг И пР> I - =--------------------,
I <9 р II r Г nd> = ..-"-I:!, (52,4)
(]гш; 1 3(n-f2j2* + ;
2i5„i/ — 2)2"-6
I <2р 1г Л ni~> Р=-
3 (a -j- 2}
Формула (52,3) непригодна для переходов без изменения главного квантоЕого числа п (переходы между компонентами топкой структуры уровня). В этом случае (п = п') для осуществления интегрирования исходим из представления радиальных функций через обобщенные полиномы Лагерра:
*¦<=—!¦ /wtw1'-''-(I)''--1 (I)- <52’5>
В интеграле
00 QQ
5 Rn,i-iRnirSdrco [ e-°p2'+2L2jy (р) L;!”^ (р) dp
jia 1/ ™.еденных там обозначениях речь идет о вычислении интеграла 2*+г ( п + '+1, —п'-\-1). Оно осуществляется с помощью формул (f, 12—16). ) Численные таблицы матричных элементов и вероятностей переходов для я ***** можно найти в книге: Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами.—М.: ИЛ, 1960.
224
ИЗЛУЧЕНИЕ
[Гл. V
заменяем один из полиномов его выражением через производящую функцию (см. Ill, § d):
После (п — I— 1)-кратного интегрирования по частям получим интеграл вида
оо П. — I — 1
j е-рр'г+' (|) р(р) dp, о
в котором заменяем полином Лагерра его явным выражением согласно формуле
п-т
АТ(Р)= (-!)¦>.! Е (4t)4r-
к = 0 '
После проведения дифференцирования в сумме остается всего три члена, после чего интегрирование элементарно. Вычисление приводит к простому результату:
<л, I — 1 jj г j| nly — i J/Т (52,6)
Интеграл
оо оо
J Rn>, i-1Rnlr3 dr — J %n'.i-i(rxnl)dr о 0
(где X„i = rRnl) представляет собой коэффициент разложения функции r%nl по системе ортогональных функций %п<, 1_1{п’ — \, 2, ...). Сумма квадратов модулей этих коэффициентов равна интегралу от квадрата разлагаемой функции1). Поэтому
21 <п', / —1 |]л|«/>|2= / 5 r2Xnidr. (52,7)
о
Воспользовавшись известным выражением для среднего квадрата г? в состоянии til (см. III (36,16)), находим следующее правило сумм:
?|<п', /-1|Н|п/>|2 = /^-[5п2 + 1-3/(/ + 1)]. (52,8)
п'
При заданных значениях ti, I и больших значениях п' матричный элемент перехода til—+ til' убывает по закону
\<n'l'[\r\\nl>l2co~, (52,9)
2) Суммирование производится по состояниям как дискретного, так и непрерывного спектров.
ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ. АТОМ ВОДОРОДА
225
в чем можно убедиться как из частных выражений (52,4), так и из общей формулы (52,3). Этот результат вполне естествен: ку-лоновы уровни энергии Е' = —1/2м'2 при больших п расположены квазинепрерывно, и вероятность перехода на какой-либо уровень в интервале dE' пропорциональна плотности расположения этих уровней, которая сама <\>п'~3.
