Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Напомним некоторые физические представления, лежащие в основе нерелятивистской квантовой механики (III, § 1). Мы видели, что фундаментальную роль в ней играет понятие измерения, под которым понимается процесс взаимодействия квантовой системы с «классическим объектом» («прибором»), в результате которого квантовая система приобретает определенные значения тех или иных динамических переменных (координат, скоростей и т. п.). Мы видели также, что квантовая механика сильно ограничивает возможность одновременного существования у электрона1) различных динамических переменных. Так, неопределенности Aq и Ар, с которыми могут одновременно существовать координата и импульс, связаны соотношением AqAp ~ %2)\ чем с большей точностью измерена одна из этих величин, тем с меньшей точностью может быть одновременно измерена другая.
Существенно, однако, что каждая из динамических переменных электрона в отдельности могла быть измерена со сколь угодно большой точностью, причем в течение сколь угодно короткого промежутка времени. Это обстоятельство играет фундаментальную роль для всей нерелятивистской квантовой механики. Только благодаря ему можно ввести понятие о волновой функции, основное в аппарате этой теории. Действительно, физический смысл волновой функции i|>(^) заключается в том, что квадрат
1) Как и в III, § 1, мы говорим для краткости об электроне, имея в виду любую квантовую систему.
*) В этом параграфе пользуемся обычными единицами.
18
ВВЕДЕНИЕ
ее модуля определяет вероятность получения, в результате произведенного в данный момент времени измерения, того или иного значения координаты электрона. Ясно, что необходимой предпосылкой для введения понятия о такой вероятности является принципиальная возможность осуществления сколь угодно точного и быстрого измерения координаты; в противном случае это понятие стало бы беспредметным и потеряло бы свой физический смысл.
Существование предельной скорости (скорости света с) приводит к новым принципиальным ограничениям возможностей измерения различных физических величин (Л. Д. Ландау, R. Peierls, 1930).
В III, § 44 было получено соотношение
ip'—v) ApAt~%, (1,1)
связывающее неопределенность Ар измерения импульса электрона с продолжительностью At самого процесса измерения; v и v' — скорости электрона до и после измерения. Из этого соотношения следует, что добиться достаточно точного измерения импульса в течение достаточно короткого времени (т. е. малою Ар при малом At) можно лишь ценой достаточно большого изменения скорости в результате самого процесса измерения. В нерелятивистской теории это обстоятельство являлось проявлением неповторимости измерения импульса через короткие промежутки времени, но ни в коей мере не затрагивало принципиальной возможности сколь угодно точного однократного измерения импульса, поскольку разность v'—v могла быть сделана сколь угодно большой.
Наличие же предельной скорости меняет положение вещей коренным образом. Разность v' —v, как и самые скорости, не может теперь превышать с (точнее, 2с). Заменив в (1,1) ь' — v на с, мы получим соотношение
ApAt-Jjr, (1,2)
определяющее наилучшую принципиально достижимую точность измерения импульса при данной продолжительности измерения At. Таким образом, в релятивистской теории оказывается принципиально невозможным сколь угодно точное и быстрое измерение импульса. Точное измерение импульса (Ар—*0) возможно лишь в пределе бесконечно большой продолжительности измерения.
Есть основания считать, что претерпевает изменения также и вопрос об измеримости координаты электрона самой по себе. В математическом формализме теории это проявляется в несовместимости точного измерения координаты с утверждением о положительности энергии свободной частицы. Мы увидим в даль-
СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
19
нейшем, что полная система собственных функций релятивистского волнового уравнения свободной частицы включает в себя (наряду с решениями с «правильной» зависимостью от времени) также решения с «отрицательной частотой». Эти функции войдут, в общем случае, и в разложение волнового пакета, отвечающего электрону, локализованному в небольшом участке пространства.
Волновые функции «отрицательной частоты» связаны, как будет показано, с существованием античастиц — позитронов. Появление этих функций в разложении волнового пакета выражает собой неизбежное в общем случае образование электронно-пози-тронных пар в процессе измерения координат электрона. Неконтролируемое самим процессом возникновение новых частиц лишает смысла измерение координат электрона.
В системе покоя электрона минимальная погрешность измерения его координат
(1.3)
Этому значению (единственному допустимому уже соображениями размерности) отвечает неопределенность импульса Др~ тс, которая, в свою очередь, соответствует минимальной пороговой энергии образования пары.
В системе отсчета, в которой электрон движется с энергией е, вместо (1,3), имеем
Д q~c\. (1,4)
В частности, в предельном ультрарелятивистском случае энергия связана с импульсом соотношением едаср, и тогда
